[論文レビュー] A Rabi Oscillation in Four and Five Level Systems

Kazuyuki Fujii, Kyoko Higashida+2 more|ArXiv.org|Dec 6, 2003

Quantum Information and Cryptography被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、回転波近似とユニタリ変換を用いて、時間に依存するハミルトニアンを時間に依存しない三重対角行列に簡略化することで、複数のレーザー場に駆動される4準位および5準位原子系におけるラビ振動の正確な解を提示する。主な貢献は、時間発展演算子の明示的解析的表現を導出したことであり、これにより高次元系における量子ロジックゲート実装が可能になる。

ABSTRACT

In this paper we consider a general model of an atom with n energy levels interacting with n-1 external (laser) fields which is a natural extension in the two and three level systems. We exactly solve the Schr{\" o}dinger equation to obtain a Rabi oscillation when n = 4 and 5, which will constitute a quantum logic gate of Quantum Computation based on four and five level systems.

研究の動機と目的

• 2準位および3準位系におけるラビ振動を、複数のレーザー場に駆動される4準位および5準位原子系へ一般化すること。
• n=4およびn=5の状況下で、n 個の準位を有する原子系に対して、共鳴条件下で時間に依存するシュレーディンガー方程式を正確に解くこと。
• 高次元系における量子ロジックゲート構築を可能にするために、明示的なユニタリ時間発展演算子を導出すること。
• 量子制御および量子計算の文脈において、対角成分がゼロの実対称三重対角行列の指数の数学的構造を調査すること。
• クイッド系における一般化されたウォルシュ＝ハダマール変換およびその他の有用な量子操作の基盤を提供すること。

提案手法

• エネルギー準位差に共鳴する周波数のn−1個のレーザー場と結合するn準位原子系を記述するハミルトニアンに、回転波近似（RWA）を適用する。
• レーザー周波数および位相に依存する位相因子を用いたユニタリ変換により、時間に依存するハミルトニアンを時間に依存しない形に変換する。
• 実対称三重対角行列Cの行列指数の計算に帰着させる。ここでCの対角成分はゼロ、非対角成分は結合定数g₁,…,gₙ₋₁である。
• n=4およびn=5の場合に、固有値分解と三角関数を用いて、e⁻ⁱᵗᶜの明示的計算を行う。
• 行列要素の閉じた形の式を、結合定数および固有値を用いて、複素三角関数および代数関数の組み合わせとして導出する。
• Vを位相回転行列とするとき、完全な時間発展演算子U(t) = e⁻ⁱᵗᴱ₀ V† e⁻ⁱᵗᶜを再構成し、全系のラビ振動ダイナミクスを記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数のレーザー場に駆動される4準位原子系におけるラビ振動を、どのように正確に解くことができるか？
• RQ2 n−1個のレーザー場を受ける5準位系における時間発展演算子の解析的構造は何か？
• RQ3 対角成分がゼロの実対称三重対角行列の行列指数を、n=4およびn=5の場合に明示的に計算できるか？
• RQ4 結合定数およびエネルギー準位間隔は、多準位系におけるラビ振動周波数および励起状態遷移にどのように影響するか？
• RQ5 得られたユニタリ行列は、クイッドベースの量子計算における一般化された量子ロジックゲートの構築において、果たす役割は何か？

主な発見

• n=4の場合、固有値λおよび√Bを用いて、e⁻ⁱᵗᶜが明示的に計算され、λtおよび√Btの三角関数が含まれる4×4行列が得られ、g₁, g₂, g₃を変数とする複素三角関数の式で表される。
• n=5の場合、2つの異なる周波数λおよび√Bを含み、行列要素はcos(λt)、cos(√B/λ t)、sin(λt)、sin(√B/λ t)の組み合わせとして表され、結合定数および代数関数によって重み付けられる。
• 時間発展演算子U(t)は、U(t) = e⁻ⁱᵗᴱ₀ V† e⁻ⁱᵗᶜとして完全に再構成され、Vは対角位相行列である。これにより、共鳴下での系の全ダイナミクスが記述可能になる。
• e⁻ⁱᵗᶜの導出式は、Δₖ − Δₖ₋₁ = ωₖを満たす共鳴条件下で有効であり、これにより有効ハミルトニアンが時間に依存しない形に簡略化される。
• 一般に任意のnについて特徴方程式を代数的に解くことは不可能であるが、n=4およびn=5の場合に、高次元系におけるラビ振動が正確に解けることが示された。
• 得られたユニタリ行列は、クイッド系における量子計算のための一般化された量子ゲート、例えば高次元のウォルシュ＝ハダマール変換の構築の基盤として利用可能である。