[論文レビュー] A Radon-Nikodym theorem for completely n-positive linear maps on pro-C*-algebras and its applications

Maria Joiţa|ArXiv.org|Jan 9, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、pro-$C^*$-代数上の完全 $n$-正値線形写像に対して、Radon-Nikodym型の定理を確立し、その関連するStinespring型表現を用いて、このような写像の順序構造、純粋性、極値性を特徴づける。主な貢献は、表現の可換子上の射影写像の単射性を用いた、単位的完全 $n$-正値写像の集合における極値点の特徴づけであり、これはArvesonの結果をpro-$C^*$-代数の設定に一般化したものである。

ABSTRACT

The order relation on the set of completely n-positive linear maps from a pro-C*-algebra A to L(H), the C*-algebra of bounded linear operators on a Hilbert space H, is characterized in terms of the representation associated with each completely n-positive linear map. Also, the pure elements in the set of all completely n-positive linear maps from A to L(H) and the extreme points in the set of unital completely n-positive linear maps from A to L(H) are characterized in terms of the representation induced by each completely n-positive linear map.

研究の動機と目的

• Arvesonの完全正値写像に対するRadon-Nikodym定理を、pro-$C^*$-代数上の完全 $n$-正値写像の設定に拡張すること。
• 関連する表現を用いて、完全 $n$-正値線形写像の集合上の順序関係を特徴づけること。
• 表現論的条件を用いて、単位的完全 $n$-正値写像の集合における純粋および極値要素を同定すること。
• Kaplanskyの多正値汎関数理論をpro-$C^*$-代数および $n$-正値性の文脈に一般化すること。
• 表現の可換子上の射影写像の単射性を用いて、単位的完全 $n$-正値写像空間における極値点の特徴づけを提供すること。

提案手法

• pro-$C^*$-代数 $A$ の非退化表現の比較可能性と $\mathcal{B}(A, L(H))$ 上の行列式順序構造との間の対応を確立する。
• 完全 $n$-正値線形写像を、$A$ から $L(H)$ への連続線形写像の $n \times n$ 行列として定義し、$M_n(A)$ から $M_n(L(H))$ への完全正値写像を誘導する。
• 一般化されたStinespring構成を用いて、各完全 $n$-正値写像をヒルベルト空間 $H_\rho$ 上の $A$ の表現に関連づけ、GNSおよびKSGNS構成を拡張する。
• 可換子 $\Phi_\rho(A)'$ に属する正値作用素 $T$ に対し、写像 $\theta_T$ を定義し、完全 $n$-正値写像の集合に属する要素を表現する。
• 写像 $T \mapsto P_{H_0} T P_{H_0}$ が $\Phi_\rho(A)'$ から $L(H_\rho)$ への写像として単射であることは、写像 $\rho$ が単位的完全 $n$-正値写像の集合における極値点であるための必要十分条件であることを証明する。
• 表現論的枠組みを用いて、純粋性および極値性の基準を導出し、ArvesonおよびKaplanの結果を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 pro-$C^*$-代数 $A$ から $L(H)$ への完全 $n$-正値線形写像の集合上の順序関係は、その関連する表現を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ2 完全 $n$-正値写像に関連する表現にどのような条件が満たされると、その写像が純粋であるか？
• RQ3 単位的完全 $n$-正値写像が、そのような写像の凸集合における極値点であるための条件は何か？
• RQ4 可換子上での射影写像 $T \mapsto P_{H_0} T P_{H_0}$ の単射性は、写像 $\rho$ の極値性とどのように関係するか？
• RQ5 単位的完全正値写像の場合の極値点の特徴づけを、pro-$C^*$-代数上の $n$-正値設定に拡張できるか？

主な発見

• 完全 $n$-正値線形写像の集合上の順序関係は、関連するヒルベルト空間上での非退化表現の比較可能性を用いて特徴づけられる。
• 完全 $n$-正値写像 $\rho$ が純粋であることは、Stinespring構成から導かれる特定の既約性条件を満たすことが必要十分である。
• 単位的完全 $n$-正値写像 $\rho$ がそのような写像の集合における極値点であることは、写像 $T \mapsto P_{H_0} T P_{H_0}$ が $\Phi_\rho(A)'$ から $L(H_\rho)$ への写像として単射であることと同値である。
• 写像 $\varphi(a) = [\rho_{ij}(a)]$ が $A$ から $M_n(L(H))$ への単位的完全正値写像の集合における極値点であるための十分条件として、$\rho$ の対角成分 $\rho_{ii}$ が純粋であり、かつ $i \neq j$ に対して $\rho_{ij}(u_{ij}) = I_H$ を満たすユニタリ同値条件を満たすことが挙げられる。
• $CP^n_\infty(A, L(H), I)$ における極値点の特徴づけは、$C^*$-代数の場合のArvesonの結果をpro-$C^*$-代数の設定に一般化したものである。
• 証明は、可換子内の正値作用素を用いた摂動 $\rho_T$ の構成に依拠し、極値性が摂動作用素が恒等作用素のスカラー倍であることを強制することを示している。