[論文レビュー] A Random Matrix Approach to the Lack of Projections in C*_red(F_2)

Uffe Haagerup, Hanne Schultz+1 more|ArXiv.org|Dec 30, 2004

Geometric and Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2つの生成子を持つ自由群の縮小C*-代数 $C^*_{\text{red}}(\mathbb{F}_2)$ が射影をもたない（非自明な射影を含まない）ことを、ランダム行列に基づく新たな証明を提示する。独立なGUE、GOE、GSEランダム行列の多項式に関するスペクトル分布の結果を、任意の自己共役多項式へと拡張することで、固有値の集中とギャップ分離現象を確立した。これらの結果を用いて、代数内に存在するはずの非自明な射影のトレースは0でなければならないことが示され、これは非自明な射影の存在と矛盾する。

ABSTRACT

In 1982 Pimsner and Voiculescu computed the K_0- and K_1-groups of the reduced group C*-algebra C*_red(F_k) of the free group F_k on k generators and settled thereby a long standing conjecture: C*_red(F_k) has no projections except for the trivial projections 0 and 1. Later simpler proofs of this conjecture were found by methods from K-theory or from non-commutative differential geometry. In this paper we provide a new proof of the fact that C*_red(F_k) is projectionless. The new proof is based on random matrices and is obtained by a refinement of the methods recently used by the first and the third named author to show that the semigroup Ext(C*_red(F_k)) is not a group for k >= 2. By the same type of methods we also obtain that two phenomena proved by Bai and Silverstein for certain classes of random matrices: ``no eigenvalues outside (a small neighbourhood of) the support of the limiting distribution'' and ``exact separation of eigenvalues by gaps in the limiting distribution'' also hold for arbitrary non-commutative selfadjoint polynomials of independent GUE, GOE or GSE random matrices with matrix coefficients.

研究の動機と目的

• $C^*_{\text{red}}(\mathbb{F}_2)$ の射影をもたない性質に対する、ランダム行列に基づく新たな証明を提供し、長年の予想を解決すること。
• 従来、ランダム行列における線形多項式に限られていたスペクトル分布の結果を、行列係数をもつ任意の自己共役多項式へと拡張すること。
• 独立なGUE、GOE、GSEランダム行列の非可換自己共役多項式の極限スペクトル分布において、固有値の集中と正確なギャップ分離を確立すること。
• これらのスペクトル結果を用いて、$C^*_{\text{red}}(\mathbb{F}_2)$ に非自明な射影が存在すると仮定した場合に矛盾を導き出し、その代数が射影をもたないことを証明すること。

提案手法

• 独立なGUE行列の多項式の作用素ノルムの収束に関する先行結果を、行列係数をもつ任意の自己共役多項式へと一般化する、洗練されたランダム行列アプローチを構築した。
• 従来の $C^*$-代数的道具（スティンズプリングの定理やアーヴェソンの定理など）に代わり、線形化のテクニックを新たな代数的証明により再構築した。
• スペクトルトレースの平均値および分散の推定を拡張した：任意の滑らかなテスト関数 $\varphi$ に対して、$\mathbb{E}[({\text{tr}}_m \otimes {\text{tr}}_n)\varphi(Q_n)] = ({\text{tr}}_m \otimes \tau)\varphi(q) + \frac{1}{n}\Lambda(\varphi) + O(1/n^2)$ が成り立ち、$\text{supp}(\Lambda) \subseteq \sigma(q)$ である。この結果はGUE、GOE、GSEアンサンブルに対して有効である。
• ガウス行列の空間における回転を用いて、連続的なランダム行列の経路を構成し、GUE/GOE行列をSGRM（球対称ガウスランダム行列）に接続した。この過程でスペクトル性質が保存された。
• スペクトル測度のストイエルジェス変換を用いて、経路に沿ったトレース関数の連続性を示し、スペクトルに関する位相的議論を可能にした。
• 非自明な射影が存在すると仮定した場合に、その期待スペクトルトレースが $n$ の整数倍でなければならないが、極限では0に収束することを示し、矛盾を導いた。これにより、非自明な射影の存在が排除された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム行列理論を用いて、$C^*_{\text{red}}(\mathbb{F}_2)$ の射影をもたない性質を、K理論や非可換幾何学を用いずに証明できるか？
• RQ2 GUE、GOE、GSE行列の独立な多項式に対して、固有値が極限スペクトルの近傍外に存在しない現象および正確なギャップ分離が、線形多項式を超えて任意の自己共役多項式へと拡張可能か？
• RQ3 非自明な射影のトレースがランダム行列近似により0に示されることで、非自明な射影の存在が排除できるか？
• RQ4 独立なガウスランダム行列の非可換自己共役多項式のスペクトル測度は、行列アンサンブルの連続的変形に対して安定か？
• RQ5 ストイエルジェス変換の技法を用いて、ランダム行列の経路に沿ったスペクトルトレース関数の連続性を確立できるか？

主な発見

• 任意の行列係数をもつ自己共役多項式 $q(X_1^{(n)}, \dots, X_r^{(n)})$ のスペクトル分布は、ほとんど確実に $q(x_1, \dots, x_r)$ のスペクトル分布に収束する。すなわち、任意の $\varepsilon > 0$ に対して、$n \to \infty$ のとき $\sigma(q(X^{(n)})) \subseteq \sigma(q(x)) + (-\varepsilon, \varepsilon)$ が成り立つ。
• GUE、GOE、GSEの3つのアンサンブルすべてにおいて、平均スペクトルトレースは $\mathbb{E}[({\text{tr}}_m \otimes {\text{tr}}_n)\varphi(Q_n)] = ({\text{tr}}_m \otimes \tau)\varphi(q) + \frac{1}{n}\Lambda(\varphi) + O(1/n^2)$ を満たし、$\text{supp}(\Lambda) \subseteq \sigma(q)$ である。これは、従来の線形多項式に限られていた結果を任意の次数の多項式へと拡張した。
• スペクトルトレースの分散は $O(1/n^2)$ であり、$\varphi'$ が $\sigma(q)$ の近傍で0であれば、分散は $O(1/n^4)$ にまで低下する。これにより、ボレル＝カンテリの補題とチェビシェフの不等式を用いて、ほとんど確実な収束が得られる。
• 連続なランダム行列の経路に沿って、スペクトル測度のストイエルジェス変換が時間に関して連続であることが示され、これにより経路に沿ったトレース関数の連続性が保証された。
• 非自明な射影の期待スペクトルトレースが極限で0に収束することが示され、非自明な射影はトレースが $k/n$（$k \geq 1$ なる整数）でなければならないという要請と矛盾する。これにより、非自明な射影の存在が排除された。
• 本稿では、同じランダム行列フレームワークを用いて、$k \geq 2$ のとき $\mathrm{Ext}(C^*_{\text{red}}(\mathbb{F}_k))$ が群でないことを示した。これにより、射影の非存在性がさらに強化された。