[論文レビュー] A random-projection based procedure to test if a stationary process is Gaussian

Juan A. Cuesta‐Albertos, Fabrice Gamboa Alicia Nieto-Reyes|ArXiv.org|Nov 18, 2009

Advanced Statistical Process Monitoring参考文献 29被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、有限の標本経路に基づいて、厳密に定 station な確率過程の正規性を一貫して評価する、ランダム射影に基づく検定を提案する。過程をランダムな1次元方向に射影し、射影された周辺分布の正規性をEpps検定および歪度尖度検定を用いて検定することで、周辺分布が正規に見える場合でも非正規な代替仮説を検出可能であり、正規性の仮定のもとで一貫性を示し、周辺分布のみを用いた検定よりも複雑な非正規的依存構造を検出する能力に優れる。

ABSTRACT

In this paper we address the statistical problem of testing if a stationary process is Gaussian. The observation consists in a finite sample path of the process. Using a random projection technique introduced and studied in Cuesta-Albertos et al. 2007 in the frame of goodness of fit test for functional data, we perform some decision rules. These rules really stand on the whole distribution of the process and not only on its marginal distribution at a fixed order. The main idea is to test the Gaussianity on the marginal distribution of some random linear combinations of the process. This leads to consistent decision rules. Some numerical simulations show the pertinence of our approach.

研究の動機と目的

• 厳密に定 station な確率過程が正規であるかどうかを、有限の標本経路に基づいて一貫した統計的検定によって同定すること。
• 1次元周辺分布が正規である場合に非正規的依存構造を検出できない周辺分布のみの検定の限界を克服すること。
• ランダム射影理論を活用して、無限次元の正規性検定問題を1次元の検定の系列に還元すること。
• やや弱い正則性仮定のもとで、すべての厳密に定 station な非正規的代替仮説に対して検定の一貫性を保証すること。
• 複数のランダム射影と適応的検定手順を組み合わせることで、実験的パワーの向上と第一種過誤の増加の抑制を図ること。

提案手法

• ヒルベルト空間内のランダムな方向への定 station な過程のランダム射影を用いて1次元周辺分布を生成する。
• 各射影周辺分布の正規性をEpps検定およびLobato-Velascoの歪度尖度検定を用いて評価する。
• すべての非正規的代替仮説に対して一貫性を確保するために、Epps検定の評価点をランダム化する。
• 複数の独立なランダム射影からのp値を、多重検定補正を用いて統合してパワーを向上させるとともに誤り率を制御する。
• 2段階手順を採用する：まず過程を射影し、次に射影された周辺分布の正規性を検定する。
• 有限標本における第一種過誤の増加を抑えるために、ブートストラップに基づく多重検定補正を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周辺分布が正規に見える場合でも、ランダム射影に基づく手法が、厳密に定 station な過程における非正規性を一貫して検出できるか。
• RQ2 過程の周辺分布が正規であるが依存構造が非正規である場合、本検定はEpps、Jarque-Beraなどの古典的周辺ベース検定と比べてパワーで優れるか。
• RQ3 ランダム射影の数を増やすことで、検定の実験的サイズとパワーがどの程度向上するか。
• RQ4 標準的な単変量正規性検定では検出できない非正規的代替仮説を、本手法は検出可能か。
• RQ5 「より正規に似た」有限次元分布をとる代替仮説下で、RP検定の棄却率は帰無仮説下と比べてどのように振る舞うか。

主な発見

• 本手法は、正則性仮定のもとで、周辺分布のみの検定とは異なり、すべての厳密に定 station な非正規的代替仮説に対して一貫性を示す。
• シミュレーションでは、非正規過程W*に対して、p値が1.029×10⁻⁴（リムクス）および1.314×10⁻⁶（太陽黒spot）にまで低下し、先行手法と同等の性能を示した。
• W*過程におけるEpps、G、GE検定の棄却率は名目の5%水準を下回り、標本サイズが増加するにつれて低下しており、分位数の均等な間隔による「より正規に似た」挙動が原因であると考えられる。
• k=2からk=8にランダム射影の数を増やすことで、n=1000における棄却率は14.48%から86.28%に向上し、強いパワーの向上が確認された。
• 実データのリムクスおよび太陽黒spotデータにおいても、本手法は非正規性を適切に検出でき、EppsおよびLobato-Velasco検定と同程度のp値を示した。
• Epps検定における評価点のランダム化により一貫性が確保され、Epps検定と歪度尖度検定の組み合わせにより、より高いロバスト性と検出パワーが実現された。