[論文レビュー] A random Schrödinger operator associated with the Vertex Reinforced Jump Process on infinite graphs

Christophe Sabot, Xiaolin Zeng|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 3被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、1-依存性を持つ確率的ポテンシャルを有するランダム・シュレーディンガー作用素を用いて、無限グラフ上の頂点強化ジャンプ過程（VRJP）をマコフ過程の混合として表現する。VRJPおよびERRWの $\mathbb{Z}^d$ 上での再帰性または非再帰性がゼロ-ワン法則に従うことを証明し、$d \geq 3$ において弱強化の下で関数中心極限定理を導出する。また、すべての定数初期重みに対して $d=2$ でのERRWの再帰性を確認する。

ABSTRACT

This paper concerns the Vertex reinforced jump process (VRJP), the Edge reinforced random walk (ERRW) and their link with a random Schrödinger operator. On infinite graphs, we define a 1-dependent random potential $β$ extending that defined in [20] on finite graphs, and consider its associated random Schrödinger operator $H_β$. We construct a random function $ψ$ as a limit of martingales, such that $ψ=0$ when the VRJP is recurrent, and $ψ$ is a positive generalized eigenfunction of the random Schrödinger operator with eigenvalue $0$, when the VRJP is transient. Then we prove a representation of the VRJP on infinite graphs as a mixture of Markov jump processes involving the function $ψ$, the Green function of the random Schrödinger operator and an independent Gamma random variable. On ${\mathbb Z}^d$, we deduce from this representation a zero-one law for recurrence or transience of the VRJP and the ERRW, and a functional central limit theorem for the VRJP and the ERRW at weak reinforcement in dimension $d\ge 3$, using estimates of [10,8]. Finally, we deduce recurrence of the ERRW in dimension $ d=2$ for any initial constant weights (using the estimates of Merkl and Rolles, [15,17]), thus giving a full answer to the old question of Diaconis. We also raise some questions on the links between recurrence/transience of the VRJP and localization/delocalization of the random Schrödinger operator $H_β$.

研究の動機と目的

• 有限グラフから無限グラフへのVRJPのマコフ過程の混合としての表現の拡張。
• VRJPおよびERRWの $\mathbb{Z}^d$ 上での再帰性／非再帰性に関するゼロ-ワン法の確立。
• 次元 $d \geq 3$ における弱強化の下でのVRJPおよびERRWの関数中心極限定理の証明。
• Diaconisの予想である、すべての定数初期重みに対して $d=2$ でのERRWの再帰性の解決。
• VRJPの再帰性／非再帰性と関連するランダム・シュレーディンガー作用素 $H_\beta$ の局在化／非局在化との関係の探求。

提案手法

• $\mathbb{Z}^d$ 上に逆ガウス分布を確率的マージン分布とする1-依存性確率的ポテンシャル $\beta$ を構築する。
• $V_j = 2\beta_j - 2dW$ を用いて、$H_\beta = -W\Delta + V$ としてランダム・シュレーディンガー作用素 $H_\beta$ を定義する。これは定常的かつ1-依存的ポテンシャルを有するアンドリュー型モデルを形成する。
• 0固有値に対する一般化固有関数 $\psi$ を定義する：再帰性の下では $\psi = 0$、非再帰性の下では正で一般化固有関数となる。
• Green関数 $G(i,j) = \widehat{G}(i,j) + \frac{1}{2}\gamma^{-1}\psi(i)\psi(j)$ を構築する。ここで $\widehat{G} = (H_\beta)^{-1}$ であり、$\gamma \sim \text{Gamma}(1/2,1)$ である。
• 交換可能な時間スケールにおけるVRJPを、$\psi$、$G$、$\gamma$ を用いて、ジャンプレート $\frac{1}{2}W_{ij} G(i_0, j)$ のマコフ過程の混合として表現する。
• 文献[10, 8]および[15, 17]の推定を用いて、関数中心極限定理および $d=2$ での再帰性のためのtightnessと収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{Z}^d$ 上のVRJPは、再帰性または非再帰性に関してゼロ-ワン法を満たすか？
• RQ2 無限グラフ上のVRJPは、ランダム・シュレーディンガー作用素の一般化固有関数を含む、マコフ過程の混合として表現可能か？
• RQ3 次元 $d \geq 3$ における弱強化の下で、VRJPおよびERRWの関数中心極限定理は成立するか？
• RQ4 Diaconisの予想である、すべての定数初期重みに対して $d=2$ でのERRWの再帰性は正しいか？
• RQ5 VRJPの再帰性／非再帰性とランダム・シュレーディンガー作用素 $H_\beta$ の局在化／非局在化との関係は何か？

主な発見

• $\mathbb{Z}^d$ 上のVRJPは、強化強度に応じて再帰性または非再帰性に関してゼロ-ワン法を満たす。
• 交換可能な時間スケールにおけるVRJPは、$G$（$H_\beta$ のGreen関数）と一般化固有関数 $\psi$ を含む、ジャンプレート $\frac{1}{2}W_{ij} G(i_0, j)$ のマコフ過程の混合として表現される。
• $d \geq 3$ では、弱強化の下でVRJPおよびERRWに対して関数中心極限定理が成立し、スコロホド位相においてブラウン運動への収束が成立する。
• すべての定数初期重みに対して $d=2$ でのEdge Reinforced Random Walk（ERRW）は再帰的であり、Diaconisの予想が確認された。
• 固有値0の一般化固有関数 $\psi$ は、VRJPが非再帰的であるとき正であり、再帰的であるとき0に等しい。
• 確率的ポテンシャル $\beta$ は1-依存的かつ定常的であり、パラメータ $\left(\frac{1}{dW}, 1\right)$ を持つ逆ガウス分布の逆数として与えられる。