[論文レビュー] A Randomized Algorithm Based on Threshold Accepting to Approximate the Star Discrepancy

Michael Gnewuch, Magnus Wahlström+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2011

Mathematical Approximation and Integration参考文献 29被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、高次元空間内の点集合のスターディスcrepancyを近似するための改善された確率的しきい値受容アルゴリズムを提示する。非一様サンプリングと臨界テストボックスの丸めを導入することで、従来のアルゴリズムに比べて著しく優れた性能を発揮し、実行可能ケースでは頻繁に正確な差分を計算し、高次元でも既存手法を上回る。

ABSTRACT

We present a new algorithm for estimating the star discrepancy of arbitrary point sets. Similar to the algorithm for discrepancy approximation of Winker and Fang [SIAM J. Numer. Anal. 34 (1997), 2028--2042] it is based on the optimization algorithm threshold accepting. Our improvements include, amongst others, a non-uniform sampling strategy which is more suited for higher-dimensional inputs, and rounding steps which transform axis-parallel boxes, on which the discrepancy is to be tested, into \emph{critical test boxes}. These critical test boxes provably yield higher discrepancy values, and contain the box that exhibits the maximum value of the local discrepancy. We provide comprehensive experiments to test the new algorithm. Our randomized algorithm computes the exact discrepancy frequently in all cases where this can be checked (i.e., where the exact discrepancy of the point set can be computed in feasible time). Most importantly, in higher dimension the new method behaves clearly better than all previously known methods.

研究の動機と目的

• 次元dにおいてNP困難かつW[1]-困難であるスターディスクリパニーサンプリングの計算的課題に対処すること。
• 従来のアルゴリズムが失敗するかスケーリングが著しく悪い高次元設定において、差分近似のためのヒューリスティック手法を改善すること。
• 低ディスクリパニーセンスの評価をより良く行うために、高品質な下界を生成する実用的で効率的なアルゴリズムを開発すること。
• 低ディスクリパニーセットの高速な準構成を可能にするために、差分推定をコアコンponentとして効率的に提供すること。
• 従来のしきい値受容法や整数プログラミングに基づく手法の限界を克服し、収束性と解の品質を向上させること。

提案手法

• 制御された悪化解の受容を伴う反復的局所探索を用いて、スターディスクリパニーサンプリング問題にしきい値受容メタヒューリスティックを適応させる。
• 特に高次元において局所差分が大きい領域に焦点を当てるために、単位立方体におけるテストポイントの非一様サンプリングを導入する。
• 任意の軸に平行なボックスを、差分値をより高く保証する臨界テストボックスに変換する丸め手順を適用する。
• 臨界テストボックスを用いて、局所差分のグローバル最大値を含む領域に計算を集中させ、探索効率を向上させる。
• 結果の安定性と信頼性を向上させるために、10回の試行ごとに1回の最良解を選択し、1回の試行に100,000イテレーションを割り当てる戦略を実装する。
• 差分関数の構造と、上界がグリッドΓ(X)またはその閉包の点で達成されることを知っている事実を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 しきい値受容に基づくアルゴリズムは、高次元点集合におけるスターディスクリパニーサンプリングの近似を著しく改善できるか？
• RQ2 テストボックスの非一様サンプリングは、一様サンプリングに比べて収束速度が速く、より高品質な下界をもたらすか？
• RQ3 任意のボックスを臨界テストボックスに丸めることで、差分を最大化する領域に集中させることで、差分推定の正確性が向上するか？
• RQ4 Thiémardの整数プログラミングベースの手法および他の既存のヒューリスティックと比較して、提案手法の性能と正確性はどの程度か？
• RQ5 実行可能である場合に、このアルゴリズムはどの程度、正確なスターディスクリパニーサンプリングを計算できるか？

主な発見

• 改善されたアルゴリズムTA_improvedは、正確な計算が可能なケースでは頻繁に正確なスターディスクリパニーサンプリングを計算し、高い信頼性を示している。
• 高次元においても、TA_improvedはこれまでに知られているあらゆる手法を一貫して上回り、スケーラビリティと正確性の明確な優位性を示している。
• 256点の12次元Sobol'系列について、TA_improvedは35秒で差分推定値0.1110を達成したが、Thiémardの手法は3秒で0.0872にとどまり、さらに改善するには1.6日以上を要した。
• 1500点の20次元Faure系列について、TA_improvedは4.7分で0.0740の結果を得たのに対し、Thiémardの手法は7分で0.0732に達したが、4日間経過してもTA_improvedの結果に到達しなかった。
• アルゴリズムの性能は頑健である：他の手法がはるかに長い時間を割り当てても、TA_improvedは一貫してより良い下界を生成する。
• 臨界テストボックスと非一様サンプリングの活用により、特に高次元インスタンスにおいて収束が速く、より高品質な解が得られる。