[論文レビュー] A Randomized Polynomial Kernelization for Vertex Cover with a Smaller Parameter

Stefan Kratsch|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Advanced Graph Theory Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、マトロイド理論からの代表的集合を用いた、Almost 2-SAT および端子数が定数であるMultiway Cutに対する、初めての多項式カーネル化を達成する、革新的な応用を提示する。LovászおよびMarxの代表的集合補題を活用することで、不要な頂点を特定し、小規模なカット被覆集合を構築する確率的アルゴリズムを開発し、入力サイズに関して指数的に小さい失敗確率を持つ効率的なカーネル化を可能にする。

ABSTRACT

In the Vertex Cover problem we are given a graph G=(V,E) and an integer k and have to determine whether there is a set X subseteq V of size at most k such that each edge in E has at least one endpoint in X. The problem can be easily solved in time O^*(2^k), making it fixed-parameter tractable (FPT) with respect to k. While the fastest known algorithm takes only time O^*(1.2738^k), much stronger improvements have been obtained by studying parameters that are smaller than k. Apart from treewidth-related results, the arguably best algorithm for Vertex Cover runs in time O^*(2.3146^p), where p = k - LP(G) is only the excess of the solution size k over the best fractional vertex cover [Lokshtanov et al., TALG 2014]. Since p <= k but k cannot be bounded in terms of p alone, this strictly increases the range of tractable instances. Recently, Garg and Philip (SODA 2016) greatly contributed to understanding the parameterized complexity of the Vertex Cover problem. They prove that 2LP(G) - MM(G) is a lower bound for the vertex cover size of G, where MM(G) is the size of a largest matching of G, and proceed to study parameter l = k - (2LP(G)-MM(G)). They give an algorithm of running time O^*(3^l), proving that Vertex Cover is FPT in l. It can be easily observed that l <= p whereas p cannot be bounded in terms of l alone. We complement the work of Garg and Philip by proving that Vertex Cover admits a randomized polynomial kernelization in terms of l, i.e., an efficient preprocessing to size polynomial in l. This improves over parameter p = k - LP(G) for which this was previously known [Kratsch and Wahlström, FOCS 2012].

研究の動機と目的

• パrameterized complexityにおける中心的問題であるAlmost 2-SATの長年のオープンな問題である多項式カーネル化を解決すること。
• マトロイド理論的ツールを用いて、グラフカット問題における不要な頂点を同定するための新規手法を開発すること。
• すべての端子集合A,Bの部分集合についての最小(A,B)-頂点カットを含む小規模なカット被覆集合を構築すること。
• これらの技術を拡張し、端子数が定数のMultiway Cutおよび関連問題に対する、初めての多項式カーネルを達成すること。
• 還元規則に基づく確率的多項式カーネル化フレームワークを提供すること。失敗確率はO(2⁻ⁿ)であり、非一様カーネル化フレームワークと互換性がある。

提案手法

• マトロイド理論における代表的集合補題（Lovász, Marx）を適用し、解に影響を及ぼさずに削除不能にできる頂点を同定することで、不要な頂点の議論を可能にする。
• 入力グラフの段階的コピー上にギャモイド構造を構築し、最小カットの到達可能性および飽和条件を符号化する。
• トランスバーサルの代表的集合を用いて、任意の(A,B)-カットまたはマルチウェイカットに必要なすべての頂点を含む、小規模な頂点集合Zを効率的にサンプリングする。
• エッジの縮約および未マーク成分における符号伝播を介して、元の問題をZと端子のみを含む等価なインスタンスに還元する。
• カット被覆集合構築に適用できるように、問題を頂点削除インスタンス（例：エッジの分割を用いて）に変換し、パrameter kに基づくカーネルサイズの上限を保証する。
• 失敗確率O(2⁻ⁿ)の確率的サンプリングを用いて正しさを高確率で保証し、非一様カーネル化フレームワークと互換性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マトロイド理論からの代表的集合は、NP困難問題のための効率的なカーネル化アルゴリズムの設計に用いることができるか？
• RQ2 圧縮ではなく還元規則に基づくアプローチを用いて、Almost 2-SATに多項式カーネルを構築することは可能か？
• RQ3 グラフカット問題において、マトロイド代表的集合を用いて、不要な頂点を体系的に導出することは可能か？
• RQ4 端子集合Tの部分集合A,Bについて、すべての最小(A,B)-頂点カットをカバーする最小の頂点集合は何か？
• RQ5 これらの技術は、端子数が定数であるMultiway CutおよびMulticutに対して一般化され、多項式カーネルを生成できるか？

主な発見

• 本稿は、O(k⁶)変数の最初の多項式カーネルをAlmost 2-SATに提示し、失敗確率O(2⁻ᵏ)の確率的圧縮により達成される。
• 端子数がs個以下のMultiway Cutに対して、代表的集合に基づく不要な頂点検出法を用いて、サイズO(ks+1)のカーネルが構築される。
• 任意の無向グラフGと端子集合Xに対して、サイズO(|X|s+1)の集合Zを確率的多項式時間で計算可能であり、Xを高々s個の互いに素な部分集合に分割する任意の最小マルチウェイカットを含む。
• 有向グラフにおいて、任意のA⊆SとB⊆Tのすべての(A,B)-頂点カットをカバーするカット被覆集合ZのサイズはO(|S|·|T|·r)である。ここでrはA⊆SとB⊆Tの間の最小カットサイズである。
• カーネル化は還元規則に基づき、確率的である。失敗確率はO(2⁻ⁿ)であり、非一様カーネル化フレームワークと互換性がある。
• 結果は、Vertex Cover Above LPおよびK"onig Vertex Deletionなどの関連問題へも拡張され、これら問題に対する最初の多項式カーネルが得られる。