[論文レビュー] A Randomized Rounding Algorithm for the Asymmetric Traveling Salesman Problem

Michel X. Goemans, Nicholas J. A. Harvey+2 more|ArXiv.org|Sep 4, 2009

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、三角不等式を満たす非対称巡回セールスマン問題（ATSP）に対して、新しい確率的丸めアルゴリズムを提示する。まず、スケーリングされた線形計画法（LP）解のランダムサンプリングによってほぼバランスの取れた有向多重グラフを構築し、その後、輸送送り子部分グラフを用いてそれをオイラー的グラフに補正することで、$O(\log n)$の近似比を達成する。この手法により、Held-Karp緩和の整数性ギャップが$O(\log n)$であることが証明され、既知の境界と一致するが、新たな確率的解析を用いる。

ABSTRACT

We present an algorithm for the asymmetric traveling salesman problem on instances which satisfy the triangle inequality. Like several existing algorithms, it achieves approximation ratio O(log n). Unlike previous algorithms, it uses randomized rounding.

研究の動機と目的

• 三角不等式を満たす非対称巡回セールスマン問題（ATSP）に対して、改善された近似保証を持つ新しいアルゴリズムの開発。
• 確率的丸めを用いて、ATSPのHeld-Karp線形計画緩和の$O(\log n)$整数性ギャップを示す新しい証明の提供。
• 確率的丸めにより、高確率でほぼバランスの取れた有向グラフが構築可能であることを示し、効率的なオイラー的完成が可能であることを示す。
• 接続性とバランスを確保するためのスケーリング係数$K = \Omega(\log n)$が、必要不可欠であることを示し、解析が定数係数の範囲でタイトであることを証明する。

提案手法

• 分数のHeld-Karp解$x$を$K = 100\ln n$でスケーリングし、各辺に対して$K$個の平行コピーを持つ多重グラフ$G$を構築する。
• $G$に対して独立なランダムサンプリングを適用し、各辺をその重みに比例する確率で選択して、確率的多重グラフ$H$を形成する。
• チェルノフの不等式を用いて、高確率ですべてのカットにおいて、期待値からのずれが$\epsilon = \sqrt{1/10}$以内に収まることが示され、ほぼバランスの取れたインデグリとアウトデグリが保証される。
• 図$H$の整数辺数ベクトルを$z$と定義し、高確率ですべての非自明な$U \subset V$に対して$\frac{z(\delta^+(U))}{z(\delta^-(U))} \leq 2$が成り立つ。
• ホフマンの循環定理を用いて、各頂点におけるネットアウトフローをバランスさせる$z$の部分グラフ$w$を特定し、$z + w$がオイラー的であることを保証する。
• 図$z + w$におけるオイラー閉路をショートカットして、コストが$O(\log n) \cdot c^T x$未満の有効なATSP巡回路を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的丸めを用いて、分数ATSP解からほぼバランスの取れた有向グラフを構築できるか？
• RQ2 確率的丸めプロセスにおいて、バランスと接続性を高確率で保証するために必要なスケーリング係数$K$は何か？
• RQ3 この確率的丸めアプローチは、三角不等式を満たすATSPに対して$O(\log n)$近似を達成できるか？
• RQ4 Held-Karp緩和の$O(\log n)$整数性ギャップはタイトか？また、$K$の下界を示すことでその解析のタイトネスを示せるか？
• RQ5 図$z$の輸送送り子部分グラフを用いて、過剰なコストを加えずに$z$をオイラー的グラフに補正できるか？

主な発見

• 確率的丸めプロセスにより、高確率ですべての$U \subsetneq V$に対して$\frac{z(\delta^+(U))}{z(\delta^-(U))} \leq 2$を満たすほぼバランスの取れた有向多重グラフ$H$が構築される。
• 丸められた解$z$の期待コストは$O(\log n) \cdot c^T x$であり、高確率で実際のコストも$O(\log n) \cdot c^T x$の範囲内にある。
• 輸送送り子部分グラフ$w$は存在し、コストが$c^T z$未満であるため、$z + w$のコストは$2 \cdot c^T z = O(\log n) \cdot c^T x$未満である。
• このアルゴリズムは、高確率でコスト$O(\log n) \cdot c^T x$の連結なオイラー的部分グラフを生成し、ショートカットにより有効なATSP巡回路を導出できる。
• タイトな例により、定数確率で接続性とバランスを保証するためには$K = \Omega(\log n)$が必須であることが示され、解析が定数係数の範囲でタイトであることが証明された。
• Held-Karp緩和のATSPにおける整数性ギャップは、$O\left(\log n\right)$未満であることが、この新しい確率的丸めアプローチにより証明された。