[論文レビュー] A randomly determined unpredictable function

Marat Akhmet, Mehmet Onur Fen+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2019

Neural Networks and Applications参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ベルヌーイ確率過程を用いて予測不能な連続関数を構成する新しい手法を提案し、その関数がポincareのカオスを示すことを示している。独立なベルヌーイ試行により予測不能な系列を生成し、安定な線形システムを用いて積分することで、連続的かつ一様連続的かつ有界な関数が得られ、厳密な意味での予測不能性を満たす。明示的なシミュレーションと安定性解析が提供されている。

ABSTRACT

In this paper, we construct a new unpredictable function. Our approach is based on adapting the concept of symbolic dynamics to introduce a map on the space of infinite sequences generated by the discrete distribution. We show that there exists an unpredictable sequence on the space and then use the sequence to construct an unpredictable function.

研究の動機と目的

• 動的システムにおけるPoincaréカオスをモデル化するために不可欠な、予測不能関数を生成する新しい構成的技法を提供すること。
• ロジスティック写像などの決定的写像に依存するのみでなく、予測不能な系列を構築する際の制限を克服すること。
• 確率過程、特にベルヌーイ過程が、数学的に厳密な意味での予測不能な系列および関数を生成できることを示すこと。
• Poincaréカオスの意味で予測不能である、連続的かつ有界的かつ一様連続的な関数の存在を確立すること。
• 標準的な計算ツールを用いて、数値的に再現可能な予測不能関数の具体例を提供すること。

提案手法

• 構成は、{0,1} 上の独立同分布のベルヌーイ試行からなる双無限列から出発し、シンボリックダイナミクスの性質を持つ系列を生成する。
• 長さが増加する二進系列の再帰的連結を用いて、シンボリックダイナミクス空間 Σ₂ 内の予測不能点を定義する。
• π(t) = iₖ*（t ∈ [k, k+1) 時）を満たす区分定数関数 π(t) を定義する。ここで iₖ* は予測不能な系列である。
• 指数カーネルとの畳み込みにより連続関数 χ(t) を定義する：χ(t) = ∫₋∞ᵗ e⁻⁽ᵗ⁻ˢ⁾ π(s) ds であり、有界性と連続性を保証する。
• χ(t) が予測不能であることは、発散する列 {ζₙ}、{ηₙ} が存在し、位相的および一様ノルムの条件を満たすことを確認することで証明される。
• 数値的シミュレーションは μ = 0.1 およびランダムに生成された iₖ ∈ {0,1} を用い、初期値 φ(0) = 0.5 の常微分方程式 x' = -x + h(t) の解 φ(t) が t ≥ 50 で χ(t) を非常に高い精度で近似する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベルヌーイ確率過程を用いて、数学的に厳密な意味での予測不能な系列を構成できるか？
• RQ2 安定な線形システムを通じて予測不能な系列を積分することで、予測不能な連続関数が得られるか？
• RQ3 標準的なソフトウェアを用いて、そのような関数を高い精度で数値的にシミュレートできるか？
• RQ4 得られた関数は一様連続的かつ有界的であり、形式的な意味での予測不能性を満たすか？
• RQ5 Poincaréカオスの文脈において、入力系列の予測不能性と出力関数との関係は何か？

主な発見

• χ(t) = ∫₋∞ᵗ e⁻⁽ᵗ⁻ˢ⁾ π(s) ds で定義される関数 χ(t) は一様連続的かつ有界的であり、sup|χ(t)| ≤ max{|a|, |b|} を満たす。
• χ(t) は予測不能であることが証明され、発散する列 {ζₙ}、{ηₙ} が存在し、任意のコンパクト集合上で ||χ(t+ζₙ) - χ(t)|| → 0 かつ ηₙ の周辺の区間で ||χ(t+ζₙ) - χ(t)|| ≥ ε₀/24 を満たす。
• 予測不能定数 ε₀ は、ベルヌーイ過程における二つの記号の差 |a - b| としてとれる。
• t ∈ [50, 100] の区間において、初期値 φ(0) = 0.5 の常微分方程式 x' = -x + h(t) の解 φ(t) は、χ(t) を誤差 < 10⁻¹⁷ で近似する。これはMatlabの精度範囲内である。
• μ = 0.1 およびランダムに生成された iₖ（0 または 1）を用いた離散化されたバージョンにより、χ(t) のシミュレーションが成功裏に実行された。
• この構成により、ベルヌーイ過程がシンボリックダイナミクス軌道と位相的に同値である系列を生成することを確認でき、予測不能関数の構築が可能である。