[論文レビュー] A Rate-Distortion Perspective on Quantum State Redistribution

Zahra Baghali Khanian, Andreas Winter|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、出力状態における加法的歪み測度を用いて、古典的Wyner-Zivソース符号化を量子系へ一般化する、状態再分配のための量子レート・歪みフレームワークを導入する。エンタングルメント支援レート・歪み関数の単一記号式を導出しているが、補助レジスタにおける非有界最適化を要し、歪みがゼロの点で連続性の問題を呈する。本問題は特定の状況では解消される。

ABSTRACT

We consider a rate-distortion version of the quantum state redistribution task, where the error of the decoded state is judged via an additive distortion measure; it thus constitutes a quantum generalisation of the classical Wyner-Ziv problem. The quantum source is described by a tripartite pure state shared between Alice ($A$, encoder), Bob ($B$, decoder) and a reference ($R$). Both Alice and Bob are required to output a system ($\widetilde{A}$ and $\widetilde{B}$, respectively), and the distortion measure is encoded in an observable on $\widetilde{A}\widetilde{B}R$. It includes as special cases most quantum rate-distortion problems considered in the past, and in particular quantum data compression with the fidelity measured per copy; furthermore, it generalises the well-known state merging and quantum state redistribution tasks for a pure state source, with per-copy fidelity, and a variant recently considered by us, where the source is an ensemble of pure states [ZBK & AW, Proc. ISIT 2020, pp. 1858-1863 and ZBK, PhD thesis, UAB 2020, arXiv:2012.14143]. We derive a single-letter formula for the rate-distortion function of compression schemes assisted by free entanglement. A peculiarity of the formula is that in general it requires optimisation over an unbounded auxiliary register, so the rate-distortion function is not readily computable from our result, and there is a continuity issue at zero distortion. However, we show how to overcome these difficulties in certain situations.

研究の動機と目的

• 出力状態における加法的歪み測度を用いて、古典的Wyner-Zivソース符号化を量子ドメインへ拡張すること。
• 量子データ圧縮と状態統合を含む既存の量子レート・歪みモデルを統一的かつ一般化する枠組みとしての統合。
• 純粋状態ソースに対するエンタングルメント支援レート・歪み関数の単一記号的特徴付けを導出すること。
• 特に歪みがゼロの点における計算可能性と連続性の課題を解決すること。
• 物理的状況において、レート・歪み関数における非有界最適化がどのように有効に束縛または計算可能になるかを示すこと。

提案手法

• 三部形式の純粋状態 |ψ⟩^ABR がアリス（A）、ボブ（B）、および参照（R）の間で共有されるフレームワークをモデル化し、出力系として Â と B̃ を導入する。
• 歪みは、ÂB̃R の結合状態上で定義される凸かつ連続関数 Δ を用いて一般化され、フィデリティベースおよび観測量ベースの測度を包含する。
• 共有エンタングルメント状態 Φ^{A₀B₀} と CPTP マップ E および D を用いて、エンタングルメント支援圧縮方式を構築する。
• レート・歪み関数 Qₑₐ(D) は、与えられた歪み D に対して達成可能なレートの下界として定義され、ブロック長にわたる漸近的収束を伴う。
• デコherence定理と Alicki-Fannes 不等式を用いて、環境と出力系間の量子相互情報量を評価する。
• 重要な技術的ステップとして、歪み D がゼロに近づく際に環境系が出力と漸近的に相関を持たなくなることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デコーダの出力がフィデリティではなく、一般の凸的・加法的歪み測度で評価される場合、量子状態再配分の最適レートは何か？
• RQ2 自由なエンタングルメントの存在が、量子状態再配分におけるレート・歪みトレードオフに与える影響は何か？
• RQ3 非有界補助レジスタの最適化を要するにもかかわらず、レート・歪み関数を単一記号形式で表現できるか？
• RQ4 歪みがゼロの点におけるレート・歪み関数の連続性の性質は何か？ そして、それらはどのように解消できるか？
• RQ5 どのような物理的状況において、レート・歪み関数の公式における非有界最適化が実際に束縛可能または計算可能になるか？

主な発見

• 本稿は、エンタングルメント支援レート・歪み関数 Qₑₐ(D) の単一記号式を導出し、量子データ圧縮と状態統合を一般化する。
• この公式は補助レジスタにおける非有界最適化を要するため、一般には計算不能であり、歪みがゼロの点で連続性の問題を呈する。
• 歪み D が小さい場合、出力状態と目標状態とのトレース距離は O(√D) で有界であり、Fannes-Audenaert 不等式を用いて量子相互情報量を制御可能となる。
• D→0 のとき、環境系は出力と漸近的にデコherenceするため、量子相互情報量は消える。
• 全ランクのソース状態を有する状況では、状態変換の作用素ノルムを束縛することで、連続性の問題が解消され、有効な計算が可能になる。
• 本フレームワークは、状態統合と1回あたりのフィデリティを用いた量子データ圧縮を特別なケースとして含み、先行研究と整合性を確認する。