[論文レビュー] A rational approximation method for the nonlinear eigenvalue problem

Yousef Saad, Mohamed El-Guide+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2019

Matrix Theory and Algorithms参考文献 50被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非線形固有値問題（NLEVP）を解くための合理的近似法を提案する。行列値関数 $ T(z) $ をコーシー積分公式を用いて有理関数で近似し、その後、複素平面内の指定された輪郭内に存在する固有値を効率的に抽出できる構造を考慮した線形化を施す。本手法は、四角則に基づくモーメント行列から導かれる小規模な固有値問題を解くことで、計算コストを低減しつつ高い精度を達成し、AAA や NLEIGS といった既存手法よりも収束性とロバスト性に優れる。

ABSTRACT

This paper presents a method for computing eigenvalues and eigenvectors for some types of nonlinear eigenvalue problems. The main idea is to approximate the functions involved in the eigenvalue problem by rational functions and then apply a form of linearization. Eigenpairs of the expanded form of this linearization are not extracted directly. Instead, its structure is exploited to develop a scheme that allows to extract all eigenvalues in a certain region of the complex plane by solving an eigenvalue problem of much smaller dimension. Because of its simple implementation and the ability to work efficiently in large dimensions, the presented method is appealing when solving challenging engineering problems. A few theoretical results are established to explain why the new approach works and numerical experiments are presented to validate the proposed algorithm.

研究の動機と目的

• 行列値関数 $ T(z) $ が多項式でない一般の非線形固有値問題の固有値を、ロバストかつ効率的に計算する手法の開発。
• 特に大規模なスパース問題において、指定された閉曲線 $ \Gamma $ 内の固有値を漏れなく抽出する課題に対処すること。
• 複数の小さな領域または1つの大きな領域における固有値計算を柔軟に可能にするフレームワークを提供し、精度と計算コストのバランスを取ること。
• どの固有値がよく近似されるかを理論的に予測可能とし、関心領域での固有値の漏れを回避すること。

提案手法

• 非線形固有値問題における行列値関数 $ T(z) $ を、コーシー積分公式から得られる有理関数で近似する。
• 四角則を用い、$ m $ 個の点で $ S_p = \frac{1}{2\pi i} \int_\Gamma z^p T(z)^{-1} Q \, dz $ のようなモーメント行列を構築し、$ T(z)^{-1} $ の挙動を捉える。
• モーメント行列を組み合わせ、シフト・アンド・インバース変換を適用したシフト $ \sigma $ を用いて、サイズが縮小された一般化固有値問題として拡張された線形固有値問題を構築する。
• 各レベル $ \ell $ で $ 2^{\ell-1} $ 個の点を用いるマルチレベル四角則を採用し、反復的に近似を改善することで収束性を高める。
• 反復の下位ブロックから抽出した正規直交基底ベクトルを用いてレイリー・リッツ法を適用し、近似不変部分空間を抽出する。
• 線形化問題の構造を活用して、全スペクトルの分解を避けて、輪郭内部の固有値のみを抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コーシー積分公式を用いた有理関数近似が、一般の非線形固有値問題を解ける有理関数固有値問題に効果的に変換できるか。
• RQ2 輪郭積分から得られるモーメント行列をどのように活用すれば、全スペクトルを計算せずに指定領域内の固有値を抽出できるか。
• RQ3 AAA や NLEIGS といった既存のアルゴリズムと比較して、提案手法の収束性と精度はどのように異なるか。
• RQ4 マルチレベル四角則戦略が、大規模スパース NLEVP の固有値計算において、どのように効率性とロバスト性を向上させるか。
• RQ5 少数の極を用いた複数の小さな領域と、多数の極を用いた1つの大きな領域の間で、計算コストのトレードオフはどのように変化するか。

主な発見

• 本手法は、$ c = -30 $ を中心とし、半径 11.5 の円内に存在する 12 個の固有値を、$ L = 6 $ 回の外側反復で正確に計算した。
• 同じ問題について、AAA アルゴリズムは $ 10^{-12} $ の許容誤差に到達するまでに 7 個の補間ノードを必要とし、NLEIGS は 38 個のノードを要した。これは、提案手法の優れた収束性を示している。
• 計算された固有ペアの残差ノルム $ \|T(\lambda)u\|_\infty $ は $ 10^{-12} $ 未満であり、高い精度と後退安定性を確認した。
• 長半径 10、短半径 1 の楕円輪郭を用い、$ m = 8 $ 個の四角則ノードと $ \sigma = -30 $ を使用したところ、12 個の実固有値をすべて正しく抽出できた。これは、輪郭形状に対して高いロバスト性を示している。
• ベインの手法は $ \delta = 10^{-10} $ の後退誤差を達成するまでに 20 個の台形ノードを要したが、本手法はより少ない四角則点数で同等の精度を達成し、スケーラビリティに優れた。
• 本手法は、$ S(\sigma) $ の行列分解を1回のみ実行すればよく、$ A_j $ 行列が類似したスパース構造を持つ大規模スパース問題において、計算効率が非常に高い。