[論文レビュー] A rational map between two threefolds

Kenichiro Kimura|ArXiv.org|Oct 11, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、3つの楕円曲線 $E^3$ から三重多様体 $V_{33} \to \mathbb{P}^5$ への次数3の明示的な主要な有理写像を構成する。この写像は座標環の環準同型によって誘導され、 Tate予想が予言する幾何的対応を実現する。その対応は、$H^3(\widetilde{V}_{33})$ の $L$-関数が $\Gamma_0(9)$ 上の重さ4のモジュラー形式および $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ 上のヘッケキャラクターと関連していることを示す。主な貢献は、有理型幾何と体拡張を用いたこの対応の明示的実現である。

ABSTRACT

A rational map between certain specific threefolds is given in an explicit manner.

研究の動機と目的

• Tate予想が予言するように、三重多様体 $V_{33}$ と3つの楕円曲線の積 $E^3$ の間に明示的な有理的対応を構成すること。
• $H^3(\widetilde{V}_{33})$ に関連する $L$-関数が、$\Gamma_0(9)$ 上の重さ4のモジュラー形式に対応することを確認すること。
• $E^3$ からの次数3の主要な有理写像によって、$V_{33}$ の $H^3$ のガロア表現を幾何的に実現すること。
• 特に $\Gamma(3)$ および $\Gamma_0(9)$-モジュラー形式に関連する、モジュラー $L$-関数を持つ三重多様体の間の既知の対応の網を拡張すること。

提案手法

• アフィン部分：$X_3 \neq 0$ である $V_{33}$ のアフィン部分は、5つの変数における2つの三次方程式で定義される。
• $(E \setminus \{X_2 = 0\})^3$ というアフィン開部分集合は、3つの変数における3つの三次方程式で記述され、曲線 $E: x^3 + y^3 + 1 = 0$ の3つのコピーの積に対応する。
• $\mathbb{Q}[X_0, X_1, X_2, X_4, X_5]$ から $(E \setminus \{X_2 = 0\})^3$ の座標環への環準同型を定義し、$X_0 \mapsto -x_1 y_3$, $X_1 \mapsto -y_1 y_3$, $X_2 \mapsto x_3$, $X_4 \mapsto -x_2 y_3$, $X_5 \mapsto -y_2 y_3$ と定める。
• この準同型は、$E^3$ から $V_{33}$ への主要な有理写像を誘導し、関数体 $\mathbb{Q}(E^3)$ が $\mathbb{Q}(V_{33})$ 上で $y_3^3 + X_2^3 + 1 = 0$ を満たす $y_3$ によって生成されることを示し、写像の次数3を確認する。
• 座標環における代数的独立性と関係式を用いて、像が稠密であり、体拡張の次数が3であることを確認することで、写像が主要であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $H^3$ コホロロジー群の $L$-関数の一致を説明する、$V_{33}$ と $E^3$ の間に幾何的対応があるか？
• RQ2 $E^3$ から $V_{33}$ への有理写像を明示的に構成できるか？ その次数は？
• RQ3 写像によって誘導される体拡張 $\mathbb{Q}(E^3)/\mathbb{Q}(V_{33})$ の次数が、次数3の有理写像に必要な3であるか？
• RQ4 この対応は、特に $\Gamma_0(9)$ 上の重さ4のモジュラー形式に関連する既知のモジュラー形式およびヘッケキャラクターとどのように関係しているか？
• RQ5 この構成は、$H^3$ にモジュラーガロア表現を持つ他の三重多様体に一般化可能か、あるいはそれらと関連づけられるか？

主な発見

• 楕円曲線 $X^3 + Y^3 + Z^3 = 0$ を用いた $E^3$ から $V_{33}$ への次数3の主要な有理写像が明示的に構成された。
• 写像は、アフィン部分で $X_0 \mapsto -x_1 y_3$, $X_1 \mapsto -y_1 y_3$, $X_2 \mapsto x_3$, $X_4 \mapsto -x_2 y_3$, $X_5 \mapsto -y_2 y_3$ を写す環準同型によって誘導される。
• 関数体 $\mathbb{Q}(E^3)$ は、$y_3^3 + X_2^3 + 1 = 0$ を満たす $y_3$ によって $\mathbb{Q}(V_{33})$ 上で生成され、写像の次数が3であることが確認された。
• この写像の存在により、Tate予想が予言する対応が実現され、$L(H^3(\widetilde{V}_{33}), s) = L(f, s)$ となる $f$ が $\Gamma_0(9)$ 上の新形式（重さ4）であることが裏付けられた。
• $H^3(\widetilde{V}_{33})$ の $L$-関数は、[4] のRemark 4.5で指摘された $E^3$ のコホロロジーの一部と一致し、この写像がその一致の幾何的実現を提供する。
• この構成により、$V_{33}$ と $E^3$ が、モジュラー $L$-関数および $H^3$ のガロア表現が一致する有理的対応によって結びつけられていることが確認された。