[論文レビュー] A Real Nullstellensatz for Matrices of Non-Commutative Polynomials

Christopher Nelson|arXiv (Cornell University)|May 3, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、自由 $\ast$-代数 $\mathbb{R}\langle x,x^\ast\rangle$ 内の非可換多項式の行列について、非可換な実 Nullstellensatz を確立する。具体的には、有限集合の共通零点集合上で消える行列多項式が、その集合を含む最小の実左部分加群に属するための必要十分条件を示している。また、構造的なグレブナー基底技法と二乗和最適化を用いることで、従来の手法に比べて効率的で有限ステップで実行可能なアルゴリズムを提案し、その実用的かつ正確な実装を可能にする。

ABSTRACT

This article extends the classical Real Nullstellensatz to matrices of polynomials in a free $\ast$-algebra $\RR\axs$ with $x=(x_1, \ldots, x_n)$. This result is a generalization of a result of Cimpri\vc, Helton, McCullough, and the author. In the free left $\RR\axs$-module $\RR^{1 imes \ell}\axs$ we introduce notions of the (noncommutative) zero set of a left $\RR\axs$-submodule and of a real left $\RR\axs$-submodule. We prove that every element from $\RR^{1 imes \ell}\axs$ whose zero set contains the intersection of zero sets of elements from a finite subset $S \subset \RR^{1 imes \ell}\axs$ belongs to the smallest real left $\RR\axs$-submodule containing $S$. Using this, we derive a nullstellensatz for matrices of polynomials in $\RR\axs$. The other main contribution of this article is an efficient, implementable algorithm which for every finite subset $S \subset \RR^{1 imes \ell}\axs$ computes the smallest real left $\RR\axs$-submodule containing $S$. This algorithm terminates in a finite number of steps. By taking advantage of the rigid structure of $\RR\axs$, the algorithm presented here is an improvement upon the previously known algorithm for $\RR\axs$.

研究の動機と目的

• 古典的な実 Nullstellensatz を、自由 $\ast$-代数内の非可換多項式の行列という非可換設定に拡張すること。
• 行列多項式の左部分加群の零点集合と、実左部分加群の概念を定義・特徴づけること。
• 非可換な実 Nullstellensatz の類似物を確立すること：有限集合の共通零点集合上で消える行列多項式が、その集合で生成される部分加群の実根に属するための必要十分条件を示すこと。
• 与えられた有限個の行列多項式を含む最小の実左部分加群を計算する、有限で実装可能なアルゴリズムを開発すること。
• 自由代数 $\mathbb{R}\langle x,x^\ast\rangle$ が持つきめ細かな代数的構造を活用し、グレブナー基底枠組みの中で二乗和技法を統合することで、既存のアルゴリズムを改善すること。

提案手法

• 行列多項式の左部分加群の零点集合の概念を $\mathbb{R}^{1\times\ell}\langle x,x^\ast\rangle$ で導入し、二乗和に関する正定値条件を用いて実左部分加群を定義する。
• 有限個の行列多項式で生成される左部分加群の実根を、削減済み左グレブナー基底に基づく再帰的アルゴリズムで計算する。
• 適切に構築された単項式基底 $\mathfrak{C}^{(i)}$ の線形包に属する非自明な二乗和の存在を確認するため、線形行列不等式（LMI）の定式化を用いる。
• 各反復ステップで、$L_i$ を線形パネルとする形の $M_i^* L_i(\alpha,\beta) M_i$ のような二乗和の存在を、半正定値計画法の技法を用いて検査する。
• そのような二乗和が存在する場合、対応する多項式ベクトルを生成集合に追加し、再び削減済み左グレブナー基底を再計算する。そうでない場合、アルゴリズムは実根部分加群に達したとみなして終了する。
• 同次成分の有限次元性に依拠し、次数の上限と単項式の非整除条件を用いて、アルゴリズムの終了性と正しさを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な実 Nullstellensatz は、自由 $\ast$-代数内の非可換多項式の行列に拡張可能か？
• RQ2 非可換な設定において、適切な実左部分加群とは何か？ また、その概念は零点集合とどのように関係するか？
• RQ3 与えられた有限個の行列多項式を含む最小の実左部分加群を計算するアルゴリズム的手順は存在するか？
• RQ4 二乗和技法は、非可換代数における実根を効率的に計算するグレブナー基底枠組みにどのように統合可能か？
• RQ5 提案されたアルゴリズムは有限ステップで終了し、正しく実根部分加群を計算するか？

主な発見

• 論文は非可換な実 Nullstellensatz を証明した：行列多項式 $q$ が有限集合 $S$ の共通零点集合上で消えるための必要十分条件は、$q$ が $S$ を含む最小の実左部分加群に属することである。
• アルゴリズムは、$\mathbb{R}^{1\times\ell}\langle x,x^\ast\rangle$ の同次成分の有限次元性に起因し、有限ステップで終了することが保証される。
• アルゴリズムの各反復で、現在の基底で生成される左加群が厳密に拡大されるため、収束が保証される。
• アルゴリズムは次数の上限を維持する：入力多項式の次数が最大で $d$ であれば、すべての中間多項式および基底 $\mathfrak{C}^{(i)}$ の単項式の次数は最大で $d-1$ である。
• 線形行列不等式（LMI）の可解性を用いて、非自明な二乗和の存在を正しく同定し、その場合、対応する多項式ベクトルを生成集合に追加する。
• LMI に解が存在しない場合、アルゴリズムは終了し、現在の生成集合が既に実根部分加群の削減済み左グレブナー基底であると出力する。