[論文レビュー] A real stable extension of the Vamos matroid polynomial

Sam Burton, Cynthia Vinzant+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2014

Polynomial and algebraic computation参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$V_{10}$ と表記されるヴァーモスのマトロイドの10要素拡張を導入し、平方和分解とヴァーガーおよびウェイの基準を用いてその基底生成多項式が実安定であることを証明する。主な結果は、$V_{10}$ が非表現的でありながら半平面上の性質を持つこと、およびその基底多項式の任意のべきは definite な行列式表現をもたないことであり、これはヴァーモスのマトロイドに関する先行結果を拡張し、ラクス予想の一般化に対する反例を否定する。

ABSTRACT

In 2004, Choe, Oxley, Sokal and Wagner established a tight connection between matroids and multiaffine real stable polynomials. Recently, Branden used this theory and a polynomial coming from the Vamos matroid to disprove the generalized Lax conjecture. Here we present a 10-element extension of the Vamos matroid and prove that its basis generating polynomial is real stable (i.e. that the matroid has the half-plane property). We do this via large sums of squares computations and a criterion for real stability given by Wagner and Wei. Like the Vamos matroid, this matroid is not representable over any field and no power of its basis generating polynomial can be written as the determinant of a linear matrix with positive semidefinite Hermitian forms.

研究の動機と目的

• ヴァーモスのマトロイドを8要素から10要素へ拡張し、その安定性の性質を保存または一般化すること。
• 拡張されたマトロイドの基底生成多項式が実安定のままであるかどうかを調査すること。
• 拡張されたマトロイドが、元のヴァーモスのマトロイドと同様に非表現的であり、 definite な行列式表現を有しないかどうかを確認すること。
• 正定値ヒルベルト形式をもつ線形行列の行列式として表現できない安定多項式を用いて、一般化されたラクス予想に対する新たな反例を提供すること。

提案手法

• ヴァーモスのマトロイドに2つの要素を追加し、新たな禁止4集合 $\{1,2,9,10\}$, $\{7,8,9,10\}$ を追加しながら、元の5つの禁止集合のみを削除することで、10要素のマトロイド $V_{10}$ を構築する。
• 基底生成多項式 $f_{10}(x) = \sum_{B \in \mathcal{B}} \prod_{i \in B} x_i$ を定義する。ここで $\mathcal{B}$ は、$\{1,\dots,10\}$ の4要素部分集合のうち、指定された7つの集合を除いたものである。
• ヴァーガーとウェイによる実安定性の基準を適用し、多項式に関連するある対称行列が半正定値であることを確認することで、問題を簡略化する。
• 大規模な平方和（SOS）計算を実行し、対称性と計算代数幾何学的手法を活用して多項式の実安定性を検証する。
• 実安定性が半平面上の性質を意味することを用い、これは多アフィン安定多項式論において重要な条件である。
• 多項式 $f_{10}(x)$ の任意のべきが、正定値ヒルベルト形式をもつ線形行列の行列式として表現できないことを示し、これはブレンドンの $f_8(x)$ に関する結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヴァーモスのマトロイドを8要素から10要素へ拡張し、その基底生成多項式が実安定のままであるかどうかは可能か？
• RQ2 拡張されたマトロイド $V_{10}$ は、任意の体上で非表現的であるが、それでも半平面上の性質を有するか？
• RQ3 $V_{10}$ の基底多項式は、高次のべきにおいても、正定値ヒルベルト形式をもつ線形行列の行列式として表現できないままか？
• RQ4 平方和（SOS）手法は、マトロイドから生じる高次元かつ対称的な多アフィン多項式の実安定性を検証するために効果的に用いられるか？
• RQ5 拡張されたマトロイドは、一般化されたラクス予想に対する新たな反例を提供するか？

主な発見

• 7つの特定の4要素部分集合を8要素ヴァーモスのマトロイドから除外することで定義される10要素マトロイド $V_{10}$ は、有効なマトロイドであり、その基底は $\mathcal{B}$ である。
• $V_{10}$ の基底生成多項式 $f_{10}(x)$ は、大規模な平方和計算とヴァーガー＝ウェイの安定性基準により、実安定であることが確認された。
• マトロイド $V_{10}$ は、任意の体上で非表現的であり、元のヴァーモスのマトロイドの非表現性が拡張された。
• $f_{10}(x)$ の任意のべきは、正定値ヒルベルト形式をもつ線形行列の行列式として表現できないため、definite な行列式表現を有しない。
• この結果により、一般化されたラクス予想がこのクラスのマトロイドに対して成り立たないことが確認され、ブレンドンによる $f_8(x)$ を用いた先行反例が拡張された。
• 多項式 $f_{10}(x)$ は対称的かつ多アフィン的であり、その安定性は、係数から導かれる半正定値行列の計算的検証によって確立された。