[論文レビュー] A realization theorem for modules of constant Jordan type and vector bundles

David J. Benson, Julia Pevtsova|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、初等アーベル $ p $-群の群代数上の有限生成で定数ジョルダン型をもつ加群と $ \mathbb{P}^{r-1} $ 上のベクトル bundle の間の実現定理を確立する。任意のランク $ s $ のベクトル bundle $ \mathcal{F} $ に対して、$ p = 2 $ のとき $ \mathcal{F}_1(M) \cong \mathcal{F} $ となる $ kE $-加群 $ M $ が存在し、$ p $ が奇数のとき $ \mathcal{F}_1(M) \cong F^*(\mathcal{F}) $ となる（$ F $ はフロベニウス準同型）。この結果は鋭い：$ p $ が奇数のとき、$ \mathcal{F}_1(M) $ のチャーン数 $ c_1, \dots, c_{p-2} $ は常に $ p $ で割り切れるため、定理は改善できない。

ABSTRACT

Let E be an elementary abelian p-group of rank r and let k be a field of characteristic p. We introduce functors F_i from finitely generated kE-modules of constant Jordan type to vector bundles over projective space of dimension r-1. The fibers of these functors encode complete information about the Jordan type of the module. We prove that given any vector bundle of rank s on P^{r-1}, there is a kE-module M of stable constant Jordan type [1]^s such that the functor F_1 applied to M yields the original vector bundle for p=2 and the Frobenius twist of the original vector bundle for p>2. We also prove that the theorem cannot be improved if p is odd, because if M is any module of stable constant Jordan type [1]^s then the Chern numbers c_1, ... ,c_{p-2} of F_1(M) are divisible by p.

研究の動機と目的

• 有限生成 $ kE $-加群が定数ジョルダン型をもつことと、$ \mathbb{P}^{r-1} $ 上の代数的ベクトル bundle の間の対応を確立すること。ここで $ E $ は初等アーベル $ p $-群であり、$ k $ は特性 $ p $ の体である。
• 加群のジョルダンブロック構造を符号化する情報を持つ関手 $ \mathcal{F}_i $ を定義し、それらを研究すること。
• 射影空間 $ \mathbb{P}^{r-1} $ 上の任意のベクトル bundle が、安定定数ジョルダン型 $[1]^s$ をもつある加群 $ M $ に対して $ \mathcal{F}_1(M) $ として得られることを示すこと（$ p $ が奇数の場合はフロベニウス引き戻しを除く）。
• 奇数 $ p $ の場合、定理が強化できない理由を示すこと。これは、得られる bundle のチャーン類に算術的制約があるためである。

提案手法

• 関手 $ \mathcal{F}_i $ を $ kE $-加群から $ \mathbb{P}^{r-1} $ 上の連接層へ定義し、長さ $ i $ のジョルダンブロックの余核の和を捉える。
• 増分イデアル $ J(kE) $ の作用を用い、要素 $ X_\alpha = \sum \lambda_i X_i $ が冪零に作用することを用いる。
• 関手 $ \mathcal{F}_i $ は、$ X_i $ の作用を符号化する写像 $ \theta_M $ を通じて、自明 bundle $ \widetilde{M} $ の部分商として定義される。
• 定数ジョルダン型をもつ加群に対して、$ \mathcal{F}_i $ は代数的ベクトル bundle を生成し、ホーラー移動および双対性の下での挙動が分析される。
• 主定理の証明には、ベクトル bundle の twist のチャーン類の公式と、恒等式 $ x(x+1)\cdots(x+p-1) \equiv x^p - x \pmod{p} $ が用いられる。
• 重要なステップとして、$ \widetilde{M} $ のフィルトレーション商のチャーン類の積が $ c(\widetilde{M}, h) \equiv c(\mathcal{F}_1(M), h) \pmod{(p, h^{p-1})} $ を満たすことを示し、チャーン数が $ p $ で割り切れることが導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $ \mathbb{P}^{r-1} $ 上のベクトル bundle は、安定定数ジョルダン型 $[1]^s$ をもつある $ kE $-加群 $ M $ に対して $ \mathcal{F}_1(M) $ として実現可能か？
• RQ2 フロベニウス準同型は、定数ジョルダン型の加群の文脈において、ベクトル bundle の実現可能性にどのように影響するか？
• RQ3 安定定数ジョルダン型 $[1]^s$ をもつ $ M $ に対して、$ \mathcal{F}_1(M) $ のチャーン類にどのような算術的制約があるか？
• RQ4 なぜ奇数 $ p $ の場合、実現定理は $ p = 2 $ の場合より本質的に弱くならざるを得ないのか？その強度の限界は何か？
• RQ5 特定のベクトル bundle を $ \mathcal{F}_1(M) $ として実現できない障害は存在するか？もしあるなら、それらは何か？

主な発見

• $ p = 2 $ のとき、$ \mathbb{P}^{r-1} $ 上のランク $ s $ の任意のベクトル bundle $ \mathcal{F} $ は、安定定数ジョルダン型 $[1]^s$ をもつある $ kE $-加群 $ M $ に対して $ \mathcal{F}_1(M) \cong \mathcal{F} $ として実現可能である。
• 奇数 $ p $ のとき、任意のベクトル bundle $ \mathcal{F} $ は $ \mathcal{F}_1(M) \cong F^*(\mathcal{F}) $ として実現可能である（$ F $ はフロベニウス準同型）。
• 奇数 $ p $ の場合、定理は改善できない。なぜなら、すべての $ 1 \leq m \leq p-2 $ に対して $ c_m(\mathcal{F}_1(M)) $ は $ p $ で割り切れるからである。
• この割り切り条件は鋭い：$ p \geq 7 $ のとき、ホロックス＝マムフォード bundle 及びその twist は、タイプ $[1]^2$ の任意の $ M $ に対して $ \mathcal{F}_1(M) $ として実現できない。
• ベクトル bundle の twist のチャーン類の公式に加え、$ p $ を法とするフェルマーの小定理が、チャーン類の割り切りの証明の根幹をなしている。
• この結果は、特に奇数の特性において、定数ジョルダン型の加群から生じるベクトル bundle の幾何学的障害を根本的に示している。