[論文レビュー] A rearrangement distance for fully-labelled trees

Giulia Bernardini, Paola Bonizzoni+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2019

Data Management and Algorithms参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、すべての頂点に固有のラベルが割り当てられた完全ラベル付き木に対して、トポロジーを変更する操作（リンク・カット）とラベルの並べ替え操作を組み合わせることで、新しい再配置距離を導入する。問題のNP困難性を示しつつ、固定パrameter可 tractable であることを証明し、一方の木が二分木である場合には4-近似アルゴリズムを提供する。これにより、がん進化研究における腫瘍系統発生木の効率的な比較が可能になる。

ABSTRACT

The problem of comparing trees representing the evolutionary histories of cancerous tumors has turned out to be crucial, since there is a variety of different methods which typically infer multiple possible trees. A departure from the widely studied setting of classical phylogenetics, where trees are leaf-labelled, tumoral trees are fully labelled, i.e., \emph{every} vertex has a label. In this paper we provide a rearrangement distance measure between two fully-labelled trees. This notion originates from two operations: one which modifies the topology of the tree, the other which permutes the labels of the vertices, hence leaving the topology unaffected. While we show that the distance between two trees in terms of each such operation alone can be decided in polynomial time, the more general notion of distance when both operations are allowed is NP-hard to decide. Despite this result, we show that it is fixed-parameter tractable, and we give a 4-approximation algorithm when one of the trees is binary.

研究の動機と目的

• がんシーケンシングデータから推定された複数の完全ラベル付き進化木を比較する課題に取り組む。ここで、葉だけでなくすべてのノードが突然変異によってラベル付けされている。
• トポロジーの変化（リンク・カット）とラベルの並べ替えを両方考慮する、完全ラベル付き木のための新しい再配置距離を定義する。
• 新しい距離測度の計算の複雑さを特定し、一般にはNP困難であるが、固定パrameter可 tractable であることを示す。
• 一方の入力木が二分木である場合に、多項式時間の4-近似アルゴリズムを提供する。これにより、腫瘍進行解析への実用的応用が可能になる。

提案手法

• 2つの原子的操作を定義する：(1) 木のトポロジーを変更するリンク・カット操作、(2) トポロジーを変えずに頂点ラベルの順序を変更する操作。
• 各操作単体での距離が多項式時間で計算可能であることを証明するが、両方の操作を組み合わせた距離はNP困難であることを示す。
• 補題2.1を活用して操作の順序を再配置：最適な変換列では、すべてのラベル並べ替え操作が、すべてのリンク・カット操作の前に実行される。
• パrameter $k$ を用いた有界な探索木技法を用い、サイズが $k$ 以下のすべてのラベル並べ替え列を探索する。その数は $O((4k)^{2k^2})$ 個に制限される。
• 各得られた中間木 $T^*$ に対して、補題3.1を用いて $T_2$ へのリンク・カット距離を $O(n)$ 時間で計算する。
• $d_\pi(T_1, T^*)$ と $d_\ell(T^*, T_2)$ を組み合わせて総距離を計算し、すべての $T^*$ に対して最小値を追跡する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての頂点に固有のラベルが割り当てられた完全ラベル付き木に対して、古典的系統発生学（葉のみにラベルが割り当てられる）とは対照的に、意味のある再配置距離を定義できるか？
• RQ2 1つの完全ラベル付き木を、リンク・カット操作とラベル並べ替え操作の組み合わせによって別の木に変換するための最小操作数を計算する問題は、計算的に扱いやすいか？
• RQ3 特に頂点の次数が有界である場合、または一方の木が二分木である場合に、完全ラベル付き木の再配置距離の計算複雑度はどのようになるか？
• RQ4 一方の入力木が二分木である場合に、定数倍近似アルゴリズムを設計できるか？

主な発見

• リンク・カット操作とラベル並べ替え操作を併用可能な完全ラベル付き木間の再配置距離は、計算がNP困難である。
• 距離パrameter $k$ に対して固定パrameter可 tractable であり、$O((4k)^{2k^2}n)$ 時間で解ける。
• 一方の入力木が二分木である場合に、4-近似アルゴリズムが存在する。これはリンク・カット距離の近似と、不等式 $d(T_1,T_2) \geq \frac{d_\ell(T_1,T_2)}{4}$ を根拠としている。
• 木間の頂点ペアの家族分割 $\mathcal{P}$ は下界を与える：$d(T_1,T_2) \geq |\mathcal{P}|/2$。この下界は、固定パrameterアルゴリズムにおける探索空間の剪定に用いられる。
• 任意の中間木 $T^*$ に対して、リンク・カット距離 $d_\ell(T^*, T_2)$ は線形時間 $O(n)$ で計算可能であり、探索プロセスにおける効率的な評価が可能になる。
• 最適な変換列は、すべてのラベル並べ替えがすべてのトポロジー変更の前に実行されるように再順序できる。これにより、アルゴリズム設計が簡素化される。