[論文レビュー] A Recipe for Constructing Exactly Soluble Lattice Models with Gauge and Matter Fields in One and Two Dimensions

Miguel Jorge Bernabé Ferreira, J. P. Ibieta Jimenez+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2015

Quantum many-body systems参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、1次元および2次元空間におけるゲージ場と物質場を併せ持つ、厳密に可解な格子模型の状態和構成を提示する。三角形分割された多様体に局所的テンソルを関連させ、頂点に物質場をA-加群として組み込むことで、特に射影演算子が可換である場合に、厳密に可解なハミルトニアンをもたらす転送行列を導出する。これにより、ボソン的物質場を用いて短距離および長距離にわたるエンタングル状態の両方をモデル化可能となる。

ABSTRACT

State sum models can be used to obtain partition functions of physical systems in various dimensions. Several prescriptions have been given to construct such state sum models all of which proceed by associating local tensors, which can be thought of as weights, to different parts of a closed triangulated manifold. An example of this approach is the Kuperberg’s algorithm for finding 3-manifold invariants. From the physics point of view an analogous construction results in the partition functions of three dimensional lattice gauge theories based on involutory Hopf algebras A. For the familiar case of group algebras, A = C(G), we obtain the partition functions of lattice gauge theories. In this paper we extend this construction for lattice gauge theories to one with gauge and matter fields. We build the partition functions of these theories in both two and three space-time dimensions. The additional ingredients in this construction, when compared to the pure gauge case, are the matter fields located on the vertices of the triangulated manifold which are acted upon by the gauge fields living on the edges of the same manifold. The matter fields correspond to Potts spin configurations located at the vertices interacting with the gauge field. They can be described by an A-module with an inner product. Performing this construction on a triangulated manifold with a boundary we obtain the transfer matrices of the lattice theories with gauge and matter fields. These transfer matrices are written as a product of local operators acting on vertices, links and plaquettes, very much similar to the ones occurring in lattice gauge theories where they can be identified with those appearing in Kitaev’s Quantum Double Models (QDM). The transfer matrices constructed are functions of a number of parameters which come along with the initial weights associated to different parts of the triangulated manifold. In general the transfer matrices are products of local operators, each of which are sums of projectors, but do not [e-mail] [e-mail] [e-mail] [e-mail] 1 commute with each other. However for certain values of the parameters we obtain transfer matrices made up of commuting projectors. Thus the Hamiltonians obtained from these transfer matrices are exactly soluble and their ground states can mimic both long-ranged and short-ranged entangled phases. We illustrate this construction in both two and three dimensions to obtain exactly soluble quantum lattice models of gauge and matter fields in one and two dimensions. We only consider bosonic matter fields in this paper.

研究の動機と目的

• 状態和モデルを1次元および2次元におけるゲージ場と物質場を含むように拡張すること。
• 三角形分割された多様体を用いて、物質場を伴う格子ゲージ理論の分配関数と転送行列を構成すること。
• 得られる転送行列が可換射影子から構成されるパrameter領域を特定すること。
• 得られるハミルトニアンが、短距離および長距離にわたるエンタングル状態の両方を実現できることを示すこと。

提案手法

• 頂点、辺、プレートレットに重みを割り当てた三角形分割された多様体を用い、3次元多様体不変量のKuperbergのアルゴリズムを一般化する。
• 物質場は、頂点に配置され、辺上のゲージ場の作用を受けるA-加群として導入され、内積を備える。
• 分配関数は、三角形分割上のテンソルの縮約を通じて構成され、ゲージ自由度と物質自由度の両方を含む。
• 境界を持つ多様体上の分配関数から転送行列が導出され、頂点、リンク、プレートレットにおける局所的演算子の積として表現される。
• 転送行列は初期状態和からの重みでパrameter化され、特定のパrameter選択により可換射影子が得られる。
• 得られるハミルトニアンは、これらの転送行列から構成され、射影子が可換である場合には厳密に可解となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態和モデルを1次元および2次元におけるゲージ場と物質場を含むようにどのように拡張できるか？
• RQ2 モデルパラメータにどのような条件を課すと、転送行列に可換射影子が現れるか？
• RQ3 得られるハミルトニアンは、短距離および長距離にわたるエンタングル状態の両方を記述できるか？
• RQ4 この格子構成において、物質場はゲージ作用の下でどのように変換されるか？
• RQ5 内積を備えたA-加群は、物質自由度をどのように符号化しているか？

主な発見

• 構成により得られる転送行列は、頂点、リンク、プレートレットに作用する局所的演算子の積として得られ、キタエフの量子ダブル模型に類似する。
• 特定のパラメータ値では、転送行列が可換射影子から構成され、厳密に可解なハミルトニアンが得られる。
• これらのハミルトニアンの基底状態は、長距離および短距離にわたるエンタングル状態の両方を模倣できる。
• 物質場は内積を備えたA-加群として記述され、ゲージ不変性と整合的であることが保証される。
• 純粋なゲージ状態和モデルを物質場を含むように一般化しつつ、1次元および2次元における厳密可解性を維持する。
• フレームワークはボソン的物質場に限定されており、フェルミオンの拡張は検討されていない。