[論文レビュー] A Reconstruction Procedure for Thermoacoustic Tomography in the Case of Limited Boundary Data

Dustin Steinhauer|ArXiv.org|May 18, 2009

Photoacoustic and Ultrasonic Imaging参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、限られた境界データを用いた熱音響トモグラフィーの明示的再構成手順を提示する。フーリエ積分作用素と微局所解析を用いて、測定面が平面または曲面である場合の初期データの特異性を回復する。主な貢献は、領域内に共役点が存在しないという仮定の下で、初期データの波フロント集合を再構成する公式を提供することである。すべての光線が有限時間内に測定面に到達する場合、特異性を完全に回復可能となる。

ABSTRACT

We derive an explicit method for reconstructing singularities of the initial data in a thermoacoustic tomography problem, in the case of variable sound speed and limited boundary data. In order to obtain this explicit formula we assume the metric induced by the sound speed does not have conjugate points inside the region to be observed.

研究の動機と目的

• 部分的な境界データしか入手できない場合の熱音響トモグラフィーにおける明示的再構成手法の開発。
• 全境界データではなく、平面または曲面境界上の測定から初期データの波フロント集合を回復すること。
• 初期データのすべての特異性を限られた測定から再構成可能な条件を確立すること。
• 可変音速媒質における特異性回復のための厳密な微局所的枠組みを提供すること。

提案手法

• 可変音速 $ c(x) $ を持つ波動方程式を用い、初期速度がゼロである初期値問題として熱音響トモグラフィーをモデル化する。
• 解を表すためにフーリエ積分作用素 $ E_+ $ と $ E_- $ を適用し、その特徴的ストリップによって定義される特徴的関係を用いる。
• 局所的に時間にわたって有効な、eikonal方程式 $ \phi_t^2 - c^2(x)|\nabla_x \phi|^2 = 0 $ の解を用いて、近似解 $ S_{\pm} $ を構築する。
• 特徴的ストリップによる伝播を用いて、可視性集合 $ U $ を定義し、測定面に到達する特異性が捉えられるようにする。
• 測定プロセスの逆転を、形式的随伴作用素 $ S^{*}_{\pm} $ と擬微分作用素 $ R_{j,\pm} $ を用いて、滑らか化作用素を除いて行う。
• 局所的再構成を分区単位関数 $ \theta_j $ を用いて組み合わせ、可視性集合 $ U $ 上で波フロント集合を大域的に再構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 熱音響トモグラフィーにおける初期データの特異性は、限られた境界測定から再構成可能か？
• RQ2 領域および音速の幾何的条件は、可視性集合が波フロント集合全体をカバーするのにどのような条件を満たすべきか？
• RQ3 微局所解析とフーリエ積分作用素を用いて、限られたデータに対する明示的再構成公式を導出するにはどうすればよいか？
• RQ4 共役点の不在が、安定的かつ完全な再構成を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、初期データ $ f $ の波フロント集合を、平面または境界の相対的開部分集合での測定のみを用いて明示的に再構成する公式を導出する。
• 再構成は、$ c(x) $ が誘導するリーマン計量が、関心領域内で共役点を持たないという仮定の下で有効である。
• 初期データの波フロント集合からのすべての特徴的ストリップが、時間 $ T $ 以内に測定面 $ \tilde{\Gamma} $ に到達する場合、$ f $ の波フロント集合全体が再構成可能である。
• 近似解、随伴作用素、擬微分作用素の組み合わせにより、滑らか化作用素を除いて波フロント集合の正確な再構成が達成される。
• 可視性集合 $ U $ は、$ U_{j,\pm} $ の和集合として定義され、測定データから回復可能な波フロント集合の領域を示す。
• 測定面が平面でなくても、$ \partial\Omega $ の相対的開部分集合であれば、領域が厳密に凸であり、かつ $ \Omega $ 外部で $ c(x) = 1 $ である限り、結果は成り立つ。