[論文レビュー] A rectifiability result for finite-perimeter sets in Carnot groups

Sebastiano Don, Enrico Le Donne+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、Carnot群における有限Perimeter集合の再帰的性について、内在的リプシッツグラフを一般化する新たな錐性条件を導入することで、新しい再帰的性の概念を確立する。任意の有限Perimeter集合の削減境界は、この錐性条件を満たす可算個の集合で被覆可能であり、錐が水平方向を含む場合、内在的リプシッツグラフによる再帰的性が成立する。この結果は、第一種および第二種の両方のfiliform群において成り立つ。

ABSTRACT

In the setting of Carnot groups, we are concerned with the rectifiability problem for subsets that have finite sub-Riemannian perimeter. We introduce a new notion of rectifiability that is, possibly, weaker than the one introduced by Franchi, Serapioni, and Serra Cassano. Namely, we consider subsets $Γ$ that, similarly to intrinsic Lipschitz graphs, have a cone property: there exists an open dilation-invariant subset $C$ whose translations by elements in $Γ$ don't intersect $Γ$. However, a priori the cone $C$ may not have any horizontal directions in its interior. In every Carnot group, we prove that the reduced boundary of every finite-perimeter subset can be covered by countably many subsets that have such a cone property. The cones are related to the semigroups generated by the horizontal half-spaces determined by the normal directions. We further study the case when one can find horizontal directions in the interior of the cones, in which case we infer that finite-perimeter subsets are countably rectifiable with respect to intrinsic Lipschitz graphs. A sufficient condition for this to hold is the existence of a horizontal one-parameter subgroup that is not an abnormal curve. As an application, we verify that this property holds in every filiform group, of either first or second kind.

研究の動機と目的

• 古典的なEuclid空間における再帰的性が失敗する一般のCarnot群における有限Perimeter集合の再帰的性問題に取り組む。
• 内在的リプシッツグラフを一般化する錐性条件に基づく、新たな（おそらくより弱い）再帰的性の概念を導入する。
• Carnot群において、有限Perimeter集合が内在的リプシッツグラフによって再帰的となる条件を特定する。
• 特に第一種および第二種のfiliform群を含む特定のクラスのCarnot群において、再帰的性条件を検証する。
• 水平方向および非異常曲線が再帰的性を可能にする役割を明確にする。

提案手法

• Carnot群における部分集合に対して新たな錐性条件を導入する：集合Γが錐性条件を満たすとは、開かつスケーリング不変な錐Cが存在し、Γの要素による左平行移動がΓと交差しないことである。
• Γの法線方向に対応する水平半空間が生成する半群と錐Cを関連付ける。
• 吹き出し解析を用いて、任意の有限Perimeter集合の削減境界上の任意の点が、一定の水平法線を持つ接集合を有することを示す。
• 任意のCarnot群において、削減境界が新たな錐性条件を満たす可算個の集合によって被覆可能であることを証明する。
• 錐Cの内部に水平方向が含まれる場合、その集合は内在的リプシッツグラフによる再帰的性を有することを確立する。
• Lie代数自己同型論を用いてfiliform群を解析し、非異常な水平1パラメータ部分群の存在を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のCarnot群における有限Perimeter集合の削減境界は、一般化された錐性条件を満たす可算個の集合で被覆可能か？
• RQ2 錐に水平方向が含まれる場合、それが内在的リプシッツグラフによる再帰的性を示す条件となるのはどのような状況か？
• RQ3 第一種および第二種のfiliform群は、内在的リプシッツグラフによる再帰的性を満たす条件を満たすか？
• RQ4 非異常な水平1パラメータ部分群の存在は、Carnot群における再帰的性の十分条件か？
• RQ5 filiform Lie代数の自己同型群は、非異常な水平直線の存在とどのように関係するか？

主な発見

• 任意のCarnot群において、任意の有限Perimeter集合の削減境界は、新たな錐性条件を満たす可算個の集合で被覆可能である。
• 削減境界に関連する錐が内部に水平方向を含む場合、その集合は内在的リプシッツグラフによる再帰的性を有する。
• 非異常な水平1パラメータ部分群の存在は、内在的リプシッツグラフによる再帰的性の十分条件である。
• 第一種および第二種のすべてのfiliform群は非異常性条件を満たすため、これらの群における有限Perimeter集合は内在的リプシッツグラフによって再帰的である。
• 第一種のfiliform群は3次元の階層的自己同型群を有するが、第二種のfiliform群は2次元の自己同型群を有するため、非同型なLie群として区別される。
• どのfiliform群もPansu剛性を有しない。なぜなら、拡大以外の階層的自己同型を含むからである。