[論文レビュー] A recursive bijective approach to counting permutations containing 3-letter patterns

David Callan|ArXiv.org|Nov 25, 2002

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、パターンの重なりに基づくケース別分析と双対写像を用いて、重複する3文字パターンを含む順列の数を数える再帰的双対的技法を提示する。既知の公式の組み合わせ的証明を提供し、123または132パターンが最大4個含まれる順列の数式を明示的に導出。これらの数え上げは2の累乗とボールト数の線形結合として表され、すべてのkに対してこのような数え上げが代数的関数であるという予想を支持する。

ABSTRACT

We present a method, illustrated by several examples, to find explicit counts of permutations containing a given multiset of three letter patterns. The method is recursive, depending on bijections to reduce to the case of a smaller multiset, and involves a consideration of separate cases according to how the patterns overlap. Specifically, we use the method (i) to provide combinatorial proofs of Bona's formula {2n-3}choose{n-3} for the number of n-permutations containing one 132 pattern and Noonan's formula 3/n {2n}choose{n+3} for one 123 pattern, (ii) to express the number of n-permutations containing exactly k 123 patterns in terms of ballot numbers for k<=4, and (iii) to express the number of 123-avoiding n-permutations containing exactly k 132 patterns as a linear combination of powers of 2, also for k<=4. The results strengthen the conjecture that the counts are algebraic for all k.

研究の動機と目的

• 与えられた3文字パターンの多重集合を含む順列を数える再帰的双対的技法の開発。
• Bónaの132パターン出現数に関する公式とNoonanの123パターン出現数に関する公式の組み合わせ的証明の提供。
• k ≤ 4の範囲で、正確にk個の123パターンを含むn順列の数をボールト数を用いて表現。
• k ≤ 4の範囲で、123パターンを避けるn順列のうち、正確にk個の132パターンを含むものの数を2の累乗の線形結合として表現。
• すべてのkに対して、このような順列の数え上げが代数的関数であるという予想の強化。

提案手法

• 重なりのある3文字パターンを含む数え上げ問題を、パターンの重なりの仕方に基づいて小さな部分問題に還元する再帰的双対写像を用いる。
• パターンの文字の種別数とその位置的・値的関係に基づいてケースを分類する。
• 各ケースにおいて、順列を部分語W₁、W₂および中央のパターンセグメントに分解し、残りの要素を相対値に基づいて集合に分割する。
• W₁およびW₂の簡約形を、既知の順列クラス（例えば、Dyckパスやボールトパス）に写像し、既知の双対写像を用いて格子パスに接続する。
• ボールト数Cₙ^(k) = (k/(2n+k)) × binomial(2n+k, n) を用いて第一象限の格子パスの数を数え、特定の順列クラスに対応させる。
• b（中央パターン文字の値）などの主要パラメータの有効な値の和をとり、二項係数および2の累乗に基づくケース固有のサイズ計算により総数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重なりのある3文字パターンを含む順列を数えるために、再帰的双対的技法を体系的に適用可能か？特にパターンが重複する場合に。
• RQ2 kが小さいときの、正確にk個の123パターンを含む順列の組み合わせ的構造は何か？
• RQ3 123パターンを避ける順列のうち、正確にk個の132パターンを含むものの数え上げはどのように可能か？その数え上げはどのような代数的形をとるか？
• RQ4 k ≤ 4の結果が示唆するように、3文字パターンの出現回数がk個の順列の数え上げは、代数的構造を示すのか？
• RQ5 既知の単一パターン出現数に関する公式（例：Bónaの公式やNoonanの公式）は、一様で双対的かつ再帰的な枠組みで再導出可能か？

主な発見

• 正確に1つの132パターンを含むn順列の数は、(2n−3 choose n−3) で与えられ、組み合わせ的双対写像により確認された。
• 正確に1つの123パターンを含むn順列の数は、(3/n) × binomial(2n, n+3) で与えられ、組み合わせ的に証明された。
• k ≤ 4の範囲で、正確にk個の123パターンを含むn順列の数は、ボールト数の線形結合として表現された。
• k ≤ 4の範囲で、123パターンを避けるn順列のうち、正確にk個の132パターンを含むものの数は、2の累乗の線形結合として表現された。
• 正確に4つの132パターンを含むn順列の総数は、二項係数および2の累乗を含む項の和として与えられた：2×binomial(n−4,1)×2ⁿ⁻⁵ + 3×binomial(n−4,2)×2ⁿ⁻⁶ + binomial(n−4,3)×2ⁿ⁻⁷ + binomial(n−5,3)×2ⁿ⁻¸⁸ + binomial(n−5,4)×2ⁿ⁻⁹。
• これらの結果は、すべてのkに対して、正確にk個の3文字パターンを含むn順列の数がnの代数的関数であるというより広い予想を支持する。