[論文レビュー] A reductive group with finitely generated cohomology algebras

Wilberd van der Kallen|ArXiv.org|Mar 22, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$ k $ が特徴2をもつとき、任意の有理的 $ \mathrm{SL}_3 $-作用をもつ有限生成可換 $ k $-代数 $ A $ に対して、有理的コホモロジー環 $ H^*(\mathrm{SL}_3, A) $ が $ k $-代数として有限生成であることを確立する。この結果は、不変式の有限生成性からコホモロジーへの拡張であり、良いフィルトレーション次元と双対ワイル加群の構造に基づく新しい議論を用いて、以前の $ \mathrm{SL}_2 $ の研究で残されていた主要なケースを解決する。

ABSTRACT

Let $G$ be the linear algebraic group $SL_3$ over a field $k$ of characteristic two. Let $A$ be a finitely generated commutative $k$-algebra on which $G$ acts rationally by $k$-algebra automorphisms. We show that the full cohomology ring $H^*(G,A)$ is finitely generated. This extends the finite generation property of the ring of invariants $A^G$. We discuss where the problem stands for other geometrically reductive group schemes.

研究の動機と目的

• 特徴2の体上の $ \mathrm{SL}_3 $ に対して、コホモロジー的有限生成性（CFG）を確立すること。
• 既知の $ \mathrm{SL}_2 $ の結果を、不変式 $ A^G $ から全コホモロジー環 $ H^*(G, A) $ へ拡張すること。
• この方法が他の $ \mathrm{SL}_n $ や特徴に一般化できない理由となる構造的・コホモロジー的障害を特定すること。
• 良いフィルトレーション次元と双対ワイル加群の構造が、正の特徴におけるコホモロジーを制御する役割を明確にすること。

提案手法

• van der Kallen (2004) の $ \mathrm{SL}_2 $ に対する手法を適応し、$ \mathrm{SL}_3 $ のボレル部分群の非可換ユニポテンツ部分群を取り扱えるように修正する。
• 双対ワイル重 $ \rho^\vee $ を導入し、$ \rho^\vee(\lambda) \leq m $ という条件を用いて、フォーベニウスの捩りの良いフィルトレーション次元を評価する。
• $ m $、すなわち $ \rho^\vee $-重みに関する帰納法を用い、最高重み $ \lambda $ の $ G $-加群 $ M $ に対して $ \dim_\nabla(M^{(1)}) \leq m $ を示す。
• コホモロジー上の写像 $ \Delta_{a,b} $ の上への性質を用いて、偶数次コホモロジー環 $ H^{\mathrm{even}}(G, A) $ が有限生成であることを示す。
• $ M $ が有限良いフィルトレーション次元をもつとき、$ H^*(G, A \otimes k[G/U]) $ が高次元で消えるという事実を応用する。
• 幾何的再帰性と不変式の有限生成性の同値性を活用し、コホモロジー的性質と不変式論的性質を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴2における $ \mathrm{SL}_3 $ は、コホモロジー的有限生成性（CFG）を満たすか、すなわち任意の有理的 $ G $-作用をもつ有限生成 $ k $-代数 $ A $ に対して $ H^*(G, A) $ が $ k $-代数として有限生成であるか？
• RQ2 ユニポテンツ部分群が可換でないにもかかわらず、なぜ特徴2における $ \mathrm{SL}_3 $ のコホモロジー環が有限生成になるのか、その構造的特徴は何か？
• RQ3 $ \mathrm{SL}_2 $ に用いられた手法が $ \mathrm{SL}_3 $ で失敗するのはなぜか？それを克服するためにどのような新しい道具が必要か？
• RQ4 滑らかさや平坦性の仮定なしに、良いフィルトレーションを持つ有限生成代数上の加群の有限良いフィルトレーション次元をどの程度保証できるか？
• RQ5 $ n=3 $、$ p=2 $ を超えて、コホモロジー環の有限生成性を妨げる障害は存在するか？もしあるなら、それらは何か？

主な発見

• 特徴2において、任意の有理的 $ \mathrm{SL}_3 $-作用をもつ有限生成可換 $ k $-代数 $ A $ に対して、コホモロジー環 $ H^*(\mathrm{SL}_3, A) $ は $ k $-代数として有限生成である。
• 主な技術的結果は、$ G = \mathrm{SL}_3 $ が特徴2のとき、任意の最高重み $ \lambda $ の $ G $-加群 $ M $ に対して、$ M^{(1)} $ の良いフィルトレーション次元が $ \rho^\vee(\lambda) $ で有界であるということである。
• コホモロジー上での写像 $ \Delta_{a,b} $ の上への性質から、偶数次コホモロジー $ H^{\mathrm{even}}(G, A) $ が有限生成であることが従い、これは全環の有限生成性を示唆する。
• 任意のノエター的 $ A $-加群 $ M $ が $ G $-作用と整合的であるとき、$ M $ が有限良いフィルトレーション次元をもつという推論は、$ A $ の滑らかさや平坦性を仮定しなくても成り立つ。
• この手法は $ n > 3 $ または $ p > 2 $ では失敗する。これは、制限されたゼロ集合の条件（ランクが1以下）が満たされないためであり、これは $ \Gamma^2(V^{(1)}) \otimes \Gamma^2(V^{\#(1)}) $ の構造に関係している。
• この結果は $ \mathrm{SL}_2 $ の場合についても新たな証明を提供し、コホモロジー的有限生成性が成り立つ正確な条件を特定する。