[論文レビュー] A reference for categorical structures on $\mathbf{Poly}$

David I. Spivak|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2022

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、カテゴリカルな枠組みにおいて多項式函手の圏 Poly における自由モノイド構成と lax モノイド構造を、cofree comonad functor c を用いて確立する。主な同型式 $\/mathfrak{c}_p \cong (p \triangleleft \mathfrak{c}_p) \times \mathcal{y}$ および $\/mathcal{y} + (p \triangleleft \mathfrak{m}_p) \cong \mathfrak{m}_p$ を示し、多項式上の自由 $\triangleleft$-モノイドが帰納的系の列挙による余極限であることを示し、すべての構造写像がカルテジアンであることを示している。

ABSTRACT

In this document, we collect a list of categorical structures on the category $\mathbf{Poly}$ of polynomial functors. There is no implied claim that this list is in any way complete. It includes: infinitely many monoidal structures, all but one of which is symmetric, closed, and distributes over $+$, several of which interact duoidally; it also includes a right-coclosure and two indexed left coclosures; it also includes various adjunctions of which $\mathbf{Poly}$ is a part, including the free monad and cofree comonad and their interaction with various monoidal structures.

研究の動機と目的

• 多項式函手の圏 Poly における圏的構造を形式化すること。
• 多項式函手上での自由 $\triangleleft$-モノイド（自由モナド）構成を定義し、分析すること。
• cofree comonad functor $\mathfrak{c}$ と自由モノイド $\mathfrak{m}_p$ を含む自然同型を確立すること。
• これらの構成が余極限およびカルテジアン写像の下でどのように振る舞うかを特定すること。
• Polyにおけるlax モノイド的およびコモノイド的構造を理解するための体系的枠組みを提供すること。

提案手法

• 自由 $\triangleleft$-モノイド $\mathfrak{m}_p$ を順序数で添え字づけられた系 $q_\alpha$ における余極限として構成する。
• $q_\alpha$ を帰納的に定義する： $q_0 = \mathcal{y}$, $q_{\alpha+1} = \mathcal{y} + (q \triangleleft q_\alpha)$, および極限順序数に対して $q_\beta = \operatorname{colim}_{\alpha<\beta} q_\alpha$。
• 自然な写像 $g_\alpha: q_\alpha \to q_{\alpha+1}$ を帰納的に定義する： $g_0 = \text{incl}$ および $g_{\alpha+1} = \mathcal{y} + (q \triangleleft g_\alpha)$。
• すべての写像 $g_\alpha$ がカルテジアンであることを示し、Poly の圏的構造と整合することを保証する。
• $\mathcal{y} + (p \triangleleft \mathfrak{m}_p) \cong \mathfrak{m}_p$ を主な構造的同一式として確立する。
• 任意の集合 $X$ に対して $\mathfrak{m}_p \triangleleft X \cong \mathfrak{m}_{p+X} \triangleleft 0$ が成り立つことを示し、自由代数と多項式拡張との関係を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式函手の圏 Poly における自由 $\triangleleft$-モノイド構成をどのように体系的に定義できるか？
• RQ2 cofree comonad functor $\mathfrak{c}$ の圏的構造は何か？ そして、モノイド演算とどのように相互作用するか？
• RQ3 余極限と順序数で添え字づけられた帰納的系は、Poly における自由モノイドの構成に果たす役割は何か？
• RQ4 同型式 $\mathfrak{c}_p \cong (p \triangleleft \mathfrak{c}_p) \times \mathcal{y}$ および $\mathcal{y} + (p \triangleleft \mathfrak{m}_p) \cong \mathfrak{m}_p$ はどのように圏論的に生じるか？
• RQ5 $\mathfrak{m}_p \triangleleft X$ と $\mathfrak{m}_{p+X} \triangleleft 0$ の間の関係は、自由代数の観点からどのように解釈できるか？

主な発見

• 多項式 $p$ 上の自由 $\triangleleft$-モノイド $\mathfrak{m}_p$ は、$q_0 = \mathcal{y}$ および $q_{\alpha+1} = \mathcal{y} + (q \triangleleft q_\alpha)$ を満たす順序数で添え字づけられた函手の帰納的系における余極限として構成される。
• 帰納的系におけるすべての遷移写像 $g_\alpha: q_\alpha \to q_{\alpha+1}$ はカルテジアンであるため、Poly の圏的構造と整合する。
• 同型式 $\mathcal{y} + (p \triangleleft \mathfrak{m}_p) \cong \mathfrak{m}_p$ が成り立つ。これは、$X \mapsto \mathcal{y} + (p \triangleleft X)$ という自己函手の初期代数として $\mathfrak{m}_p$ を特徴づける。
• cofree comonad functor $\mathfrak{c}$ は $\mathfrak{c}_p \cong (p \triangleleft \mathfrak{c}_p) \times \mathcal{y}$ を満たし、そのコモノイド的性質を反映している。
• $\mathfrak{m}_p \triangleleft X \cong \mathfrak{m}_{p+X} \triangleleft 0$ なる自然な双対性が存在し、集合 $X$ 上の自由 $p$-代数が空集合上の自由 $(p+X)$-代数に同型であることを示している。
• $\mathfrak{c}: \mathbf{Poly} \to \mathbf{Poly}$ は $(\mathbin{\triangleleft}, \otimes)$ 構造に関して lax モノイド的であり、自然なコモノイド準同型 $\mathfrak{c}_{[p,q]} \otimes \mathfrak{c}_{[p',q']} \to \mathfrak{c}_{[p+p', q+q']}$ を持つ。