[論文レビュー] A refined Poisson summation formula for certain Braverman-Kazhdan spaces

Jayce R. Getz, Baiying Liu|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、シンプレクティック群に関連するBraverman-Kazhdan空間に対して、以前の研究で制限的な解析的条件を必要としていたポアソン和公式を、洗練された形に再定式化する。解析的制御がきわめて厳密なシュワーツ空間を構成し、この空間に属するすべての関数に対して公式が成り立つことを証明することで、非アーベルポアソン和公式の予想を前進させ、ラングランズL関数のメロモルフィックな拡張と関数方程式の可能性を示唆する。

ABSTRACT

Braverman and Kazhdan introduced influential conjectures generalizing the Fourier transform and the Poisson summation formula. Their conjectures should imply that quite general Langlands $L$-functions have meromorphic continuations and functional equations as predicted by Langlands' functoriality conjecture. As evidence for their conjectures, Braverman and Kazhdan considered a setting related to the so-called doubling method in a later paper and proved the corresponding Poisson summation formula under restrictive assumptions on the functions involved. In this paper we consider a special case of the setting of the later paper, and prove a refined Poisson summation formula that eliminates the restrictive assumptions of loc. cit. Along the way we provide analytic control on the Schwartz space we construct; this analytic control was conjectured to hold (in a slightly different setting) in the work of Braverman and Kazhdan.

研究の動機と目的

• BravermanとKazhdanの以前の研究における、シンプレクティックBraverman-Kazhdan空間のポアソン和公式に、制限的な解析的仮定を排除すること。
• 空間 $X = [P,P]\backslash \mathrm{Sp}_{2n}$ 上に、厳密な解析的制御が可能なシュワーツ空間を構成し、[BK02]における予想を確認すること。
• 空間 $X(\mathbb{A}_F)$ 上の自動形式に対して、すべての関数が洗練されたシュワーツ空間に属する場合に成立する、グローバルなポアソン和公式を確立すること。
• 非アーベルフーリエ解析を通じて、倍加法の幾何的・表現論的枠組みを提供すること。
• 非アーベルポアソン和公式がラングランズ$L$-関数のメロモルフィックな拡張と関数方程式を示すという、より広範な予想を支持すること。

提案手法

• Plücker埋め込みと自動表現論を用いて、Braverman-Kazhdan空間 $X = [P,P]\backslash \mathrm{Sp}_{2n}$ 上のシュワーツ空間 $\mathcal{S}(X(\mathbb{A}_F),K)$ を構成する。
• Weyl群の元 $w_0$ の作用と正規化された交叉作用素を用いて、この空間上のフーリエ変換 $\mathcal{F}_{\psi,K}$ を定義する。
• アーベル型および非アーベル型の両方の場所における行列係数の急速な減衰を証明することで、シュワーツ空間における解析的制御を確立する。
• イーゼンスタイン級数の理論と標準$L$-関数のメロモルフィックな拡張を用いて、交叉作用素の収束性と有界性を検証する。
• $\omega$-微分作用素の方法を適用し、切断の成長を制御し、正則性と急速な減衰を証明する。
• 洗練されたシュワーツ空間と解析的制御を用いて、$f$ の $X(F)$ 上の和と、そのフーリエ変換 $\widehat{f}$ の $X(F)$ 上の和が等しいことを示すことにより、グローバルなポアソン和公式を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テスト関数に制限的な解析的仮定を課さずに、Braverman-Kazhdan空間のポアソン和公式を確立できるか？
• RQ2 空間 $X = [P,P]\backslash \mathrm{Sp}_{2n}$ 上のシュワーツ空間は、[BK02]で予想された解析的制御（例えば急速な減衰）を満たすか？
• RQ3 洗練されたシュワーツ空間を用いて、$L$-関数の留数と関数方程式を捉えるグローバルなポアソン和公式を証明できるか？
• RQ4 正規化された交叉作用素は、洗練されたシュワーツ空間上でどのように振る舞い、必要な成長条件を保つのか？
• RQ5 グローバルな和公式は、非自明な境界項を持つ関数を含めて、構築されたシュワーツ空間のすべての関数に対して有効か？

主な発見

• 本稿は、Braverman-Kazhdan空間 $X = [P,P]\backslash \mathrm{Sp}_{2n}$ 上に、完全な解析的制御が可能なシュワーツ空間 $\mathcal{S}(X(\mathbb{A}_F),K)$ を構成し、[BK02]における予想を確認した。
• フーリエ変換 $\mathcal{F}_{\psi,K}$ は適切に定義されており、$\mathcal{S}(X(\mathbb{A}_F),K)$ から自身への写像をなしており、この設定におけるポアソン和公式が意味を持つことを保証する。
• グローバルなポアソン和公式が成立する：すべての $f \in \mathcal{S}(X(\mathbb{A}_F),K)$ に対して $\sum_{\gamma \in X(F)} f(\gamma) = \sum_{\gamma \in X(F)} \widehat{f}(\gamma)$ が成り立ち、$f$ に制限的な仮定を課さない。
• 行列係数 $M_{w_0}\Phi_{\chi_s}(I_{2n})$ は、$\mathrm{Re}(s) \geq n^2/2$ に対して一様に有界であることが証明され、アーベル型の場合の収束性と解析的制御が保証された。
• 証明により、$\Phi_{\chi_s}$ が優れた切断であることが示され、有限なセミノルム $|\Phi_{\chi_s}(g)|_{A,B,P}$ および $|M_{w_0}\Phi_{\chi_s}(g)|_{A,B,P}$ を持つことが保証され、必要な減衰性と正則性が得られた。
• この方法により、倍加法の幾何的・表現論的解釈が提供され、非アーベルポアソン和公式と$L$-関数のメロモルフィックな拡張とが結びつけられた。