[論文レビュー] A refinement of Cayley's formula for trees

Ira M. Gessel, Seunghyun Seo|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ラベル付き根付き木のケーリーの公式を、適切な頂点（自身の真の後継者より小さい頂点）の数で数えることによって精緻化する。そのために多項式 $ P_n(a,b,c) = c\prod_{i=1}^{n-1}(ia + (n-i)b + c) $ を導入し、この多項式は木や森の列挙を可能にする。主な貢献は、さまざまな木の型におけるホック長の公式とこの多項式を統一的に結びつける枠組みを提供し、特に $c$-パーキング関数における「ラッキーな車」の数を用いた新しい解釈を提示することにある。

ABSTRACT

A proper vertex of a rooted tree with totally ordered vertices is a vertex that is less than all its proper descendants. We count several kinds of labeled rooted trees and forests by the number of proper vertices. Our results are all expressed in terms of the polynomials P_n(a,b,c)= c(a+(n-1)b+c)(2a+(n-2)b+c)...((n-1)a+b+c) which reduce to (n+1)^{n-1} for a=b=c=1. Our study of proper vertices was motivated by A. Postnikov's hook length formula for binary trees (arXiv:math.CO/0507163), which was also proved by W. Y. C. Chen and L. L. M. Yang (arXiv:math.CO/0507163) and generalized by R. R. X. Du and F. Liu (arXiv:math.CO/0501147). Our approach gives a new proof of Du and Liu's results and gives new hook length formulas. We also find an interpretation of the polynomials P_n(a,b,c) in terms of parking functions: we count parking functions according to the number of cars that park in their preferred parking spaces.

研究の動機と目的

• ラベル付き根付き森および木を、適切な頂点（自身の真の後継者より小さい頂点）の数で数えることによって、ケーリーの公式を精緻化すること。
• 2分木に対するポストニコフのホック長の公式を $k$-分木や順序付き森などの他の木の型へ一般化すること。
• 多項式 $P_n(a,b,c)$ とパーキング関数との関係、特に $c$-パーキング関数におけるラッキーな車の数を通した関係を確立すること。
• 生成関数および微分方程式を用いて、多項式 $P_n(a,b,c)$ が、さまざまな組合せ的構造を統一的に扱うフレームワークを提供すること。

提案手法

• 多項式 $ P_n(a,b,c) = c\prod_{i=1}^{n-1}(ia + (n-i)b + c) $ を導入し、$ a=b=c=1 $ のとき $ (n+1)^{n-1} $ に還元されることを示し、これにより木の数と適切な頂点数で森を列挙する。
• 補題2.1および補題2.2を用いて、ラベル付けを通じてホック長と適切な頂点数の関係を確立し、集合 $ S $ に適切な頂点を持つラベル付けの数が $ \frac{n!}{\prod_{v\in S} h(v)} $ に等しいことを示す。
• 指数型生成関数および微分方程式を用いて、ラッキーな車の重み付きパーキング関数の生成関数 $ Q $ を導出し、$ Q' = uQ^2 + xQ'Q $ を満たすことを示す。
• $c$-パーキング関数と $c$ 個の通常のパーキング関数への分解との間の双対性を確立し、$c$-パーキング関数の生成関数を $ Q^c $ と得る。
• 素パーキング関数（より小さなパーキング関数に分解できないもの）の概念を用いて、生成関数 $ R = 1 - Q^{-1} $ を導出し、これと $ P_n(1,u,-u) $ を関連付ける。
• 微分方程式および生成関数の技法を用いて、通常のパーキング関数について $ \sum_f u^{\text{lucky}(f)} = P_n(1,u,u) $ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケーリーの公式を、サイズに加えて適切な頂点数によっても数えられるようにどのように精緻化できるか？
• RQ2 $k$-分木や順序付き森のような他の木の型に対し、ポストニコフの恒等式に類似したホック長の公式を導出できるか？
• RQ3 多項式 $ P_n(a,b,c) $ の組合せ的解釈は、パーキング関数およびラッキーな車の数を通じてどのように得られるか？
• RQ4 適切な頂点と適切な辺の分布は、定義が類似しているにもかかわらず、木においてどのように異なるか？
• RQ5 指数型生成関数および微分方程式は、ラッキーな車の数で重み付けられたパーキング関数の生成関数を特徴付ける際に果たす役割は何か？

主な発見

• 多項式 $ P_n(a,b,c) $ は、木の数と適切な頂点数によってラベル付き根付き森を列挙する。ケーリーの公式を一般化する。
• $ a=b=c=1 $ のとき、$ P_n(1,1,1) = (n+1)^{n-1} $ となり、$ n $ 頂点のラベル付き根付き木の森の数が回復される。
• ラッキーな車の重み付きパーキング関数の生成関数 $ Q $ は $ Q' = uQ^2 + xQ'Q $ を満たし、通常のパーキング関数について $ \sum_f u^{\text{lucky}(f)} = P_n(1,u,u) $ が成り立つ。
• $c$-パーキング関数について、ラッキーな車の生成関数は $ Q^c $ であり、$ \sum_f u^{\text{lucky}(f)} = P_n(1,u,cu) $ を得る。
• 素パーキング関数について、$ \sum_f u^{\text{lucky}(f)} = -P_n(1,u,-u) $ が成り立ち、これは生成関数の逆数と関連づけられる。
• 多項式 $ P_n(a,b,c) $ は、単一のパrametric族を通じて、$k$-分木や順序付き森を含むさまざまな木の型におけるホック長の公式を統一的に扱うフレームワークを提供する。