[論文レビュー] A regularity method for lower bounds on the Lyapunov exponent for stochastic differential equations

Jacob Bedrossian, Alex Blumenthal+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 102被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、弱散乱的・弱駆動的確率微分方程式（SDE）に対して、定量的下界を定めるための新しい正則性に基づく手法を提案する。Lyapunov指数と射影過程の定常密度を結ぶFisher情報恒等式を導出し、L1における新しい定量的超楕的正則性理論を適用することで、任意の次元で加法的ノイズが連続する2モードに作用する場合に、Lorenz-96モデルに対して、初めて数学的に厳密にトップLyapunov指数の正値性を証明する。

ABSTRACT

In this article, we review our recently introduced methods for obtaining strictly positive lower bounds on the top Lyapunov exponent of high-dimensional, stochastic differential equations such as the weakly-damped Lorenz-96 (L96) model or Galerkin truncations of the 2d Navier-Stokes equations. This hallmark of chaos has long been observed in these models, however, no mathematical proof had been made for either deterministic or stochastic forcing. The method we proposed combines (A) a new identity connecting the Lyapunov exponents to a Fisher information of the stationary measure of the Markov process tracking tangent directions (the so-called "projective process"); and (B) an $L^1$-based hypoelliptic regularity estimate to show that this (degenerate) Fisher information is an upper bound on some fractional regularity. For L96 and GNSE, we then further reduce the lower bound of the top Lyapunov exponent to proving that the projective process satisfies H\"ormander's condition. We review the recent contributions of the first and third author on the verification of this condition for the 2d Galerkin-Navier-Stokes equations in a rectangular, periodic box of any aspect ratio. Finally, we briefly contrast this work with our earlier work on Lagrangian chaos in the stochastic Navier-Stokes equations. We end the review with a discussion of some open problems.

研究の動機と目的

• 既存の手法が失敗する確率的系において、トップLyapunov指数の定量的下界を確立する数学的に厳密な手法の開発。
• 弱散乱的・弱駆動的SDE、特にLorenz-96やGalerkin截断ナビエ-ストークス方程式といった基本的モデルに対して、トップLyapunov指数の正値性の証明。
• ユニット接バンドル上での射影過程の定常密度の正則性とLyapunov指数との間の新たな関係の確立。
• Sobolevノルムを用いて退化したFisher情報の下界を制御するL1フレームワークにおける定量的超楕的正則性理論の構築。

提案手法

• 定理Aとして、ユニット接バンドルSRn上での定常密度fの退化したFisher情報関数FI(f)を用いてトップLyapunov指数λ1を表現する新しい恒等式を導出する。
• 定理Bとして、Fisher情報FI(f)がfの局所的W^{s,1}_{loc} Sobolevノルムを制御することを示す定量的超楕的正則性結果を確立する（s > 0）。
• 線形化摂動のダイナミクスを解析するため、(wt) = (xt, vt)として、SRn上での射影過程を用いる。ここでvtは流れの正規化された接方向を追跡する。
• Sasaki計量を用いて、Rn上の元のベクトル場Xkを、水平成分と垂直成分に直交分解することで、SRn上での射影ベクトル場˜Xkに持ち上げる。
• Fisher情報を局所的Sobolevセミノルムによって下から押さえ込むことで、定常密度の正則性とλ1の下界との関連を確立する、新しいL1に基づく超楕的正則性理論を適用する。
• 射影ベクトル場˜Xkが生成するLie代数が、放物型Hörmander条件を満たすことを証明し、これにより射影過程の超楕的性とエルゴード性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱散乱的・弱駆動的SDEに対して、既存手法が失敗する場合に、トップLyapunov指数の厳密な下界を確立するための新しい手法を開発可能か？
• RQ2 射影バンドル上での定常密度のFisher情報がLyapunov指数を制御するか、その関係を定量的に示せるか？
• RQ3 Sobolevノルムを用いてFisher情報を下から押さえ込む、定量的L1超楕的正則性理論を構築可能か？
• RQ4 加法的ノイズが任意の連続する2モードに作用する場合に、任意の次元nでLorenz-96モデルのトップLyapunov指数が正値であるか？
• RQ5 この手法は、Galerkin截断ナビエ-ストークス方程式のような他の基本的モデルにも適用可能か？

主な発見

• 本稿では、射影過程の定常密度fの上での退化したFisher情報関数FI(f)を用いて、トップLyapunov指数が満たす恒等式nλ1 − 2λΣ = FI(f)を示す新しい恒等式（定理A）を確立する。
• 著者らは、あるs > 0に対して、Fisher情報FI(f)がfの局所的W^{s,1}_{loc} Sobolevセミノルムによって下から押さえられることを証明し、正則性とLyapunov指数との間の定量的関係を確立する（定理B）。
• 任意の次元n ≥ 3のLorenz-96モデルに対して、加法的ノイズが任意の連続する2モードに作用する場合、トップLyapunov指数は正の値をとり、本稿はこのモデルにおけるカオス性の初めての数学的厳密な証明を提供する。
• 本手法は、体積とノルムを保存する双線形のドリフトを有するSDEの広いクラスに適用可能であり、Galerkin截断ナビエ-ストークス方程式を含む。これに対して、Lyapunov指数の正値性も数学的に厳密に証明される。
• 解析により、SRn上での射影過程が、弱い仮定のもとでエルゴード的であり、放物型Hörmander条件を満たすことが確認され、定常測度の存在と一意性が保証される。
• Furstenberg-Khasminskiiの公式が射影設定において再び厳密に導出され、和Lyapunov指数λΣがドリフト場の発散の積分に等しく、nλ1 − 2λΣがノイズ場の射影発散の積分に等しいことが確認される。