[論文レビュー] A relation between higher-rank PT stable objects and quotients of coherent sheaves

Jason Lo|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、滑らかな射影的3次元多様体の有理的安定対象の導来カテゴリ−から、連接層の商への関手 F を構成し、ランクと次数が互いに素である条件下で、これが本質的に全射であることを示している。主な貢献は、Todaの高ランクDT/PT対応とGholampour-Koolの商スキーム公式を、高ランクに一般化された双対性構成によって結びつけることにある。

ABSTRACT

On a smooth projective threefold, we construct an essentially surjective functor $\mathcal{F}$ from a category of two-term complexes to a category of quotients of coherent sheaves, and describe the fibers of this functor. Under a coprime assumption on rank and degree, the domain of $\mathcal{F}$ coincides with the category of higher-rank PT stable objects, which appear on one side of Toda's higher-rank DT/PT correspondence formula. The codomain of $\mathcal{F}$ is the category of objects that appear on one side of another correspondence formula by Gholampour-Kool, between the generating series of topological Euler characteristics of two types of quot schemes.

研究の動機と目的

• 滑らかな射影的3次元多様体上の高ランクPT安定対象と連接層の商との間のカテゴリカルな橋渡しを確立すること。
• Todaの高ランクDT/PT対応とGholampour-Koolの商スキーム生成関数公式を統一すること。
• 導来カテゴリ−的技法と双対性を用いて、ランク1安定対象の構成を高ランク対象に一般化すること。
• 構成された関手のファイバーを解析し、導来カテゴリ−における同型と連接層の準同型のカテゴリ−における同型の違いを明確にすること。
• Cohen-Macaulay曲線の理想層から得られる既知の安定対象の構成を、高ランクの層の商に拡張し、高ランクPT安定対象を生成すること。

提案手法

• D^b(Coh(X))内の2項複体のカテゴリ E₀ を定義し、そのコホモロジーが次数 -1 と 0 に集中しており、すべてのPT半安定対象を含むようにする。
• E₀ から ∐_{F ∈ Coh(X), hd(F)≤1} S(Ext¹(F, O_X))^{op} への反変関手 F を構成し、対象を0次元層への全射準同型へ写像する。
• ランクと次数が互いに素である仮定の下で、F の本質的全射性を証明し、PT安定対象とGholampour-Koolの公式における商を結びつける。
• 導来カテゴリ−における双対性と八面体公理を用いて、関手 F が層の商から得られる高ランクPT安定対象の構成と関係することを示す。
• コホモロジカル技法と完全三角形を用いて F のファイバーを解析し、D^b(X) 内の同型と Mor(Coh(X)) 内の同型の違いを明確にする。
• ランク1安定対象の構成（Ext¹(IC, O_X) ։ Q）を、K = ker(q) から得られる Ext²(K, O_X) を用いた2項複体の構成により高ランクに一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高ランクPT安定対象は、どのようにして連接層の商と系として関係づけられるか？
• RQ2 Gholampour-Koolの商スキーム公式は、導来カテゴリカルな構成を介してTodaの高ランクDT/PT対応と結びつけられるか？
• RQ3 導来カテゴリ−における同型と連接層の準同型のカテゴリ−における同型の正確な関係は何か？
• RQ4 ランク1安定対象の構成は、どのようにして高ランクPT安定対象を生成するように一般化できるか？
• RQ5 関手 F がPT安定対象を商へ写像する際のファイバーの構造はどのようなものか？

主な発見

• 関手 F: E₀ → ∐_{F, hd(F)≤1} S(Ext¹(F, O_X))^{op} は本質的に全射であり、高ランクPT安定対象と連接層の商との間のカテゴリカルなリンクを確立する。
• ランク r と次数 Dω² が互いに素である仮定の下で、ch₀ = −r および ch₁ = −D を満たすPT安定対象への F の制限も本質的に全射である。
• 全射 q: Ext¹(H⁻¹(E), O_X) ։ Q から得られる2項複体 H⁻¹(E)∗∗ → Ext²(K, O_X) の構成は、H⁻¹(E) がねじれ自由で、その二重双対が局所自由であるとき、高ランクPT安定対象を生成する。
• 2項複体内の射 s は、正確な三角形 (H⁻¹(E)∗)∨ → K∨[2] → G → (H⁻¹(E)∗)∨[1] 内の H⁰(φ) に正確に一致し、関手 F と一般化された安定対象の構成を結びつける。
• H⁻¹(E) が局所自由でないがその双対がそうである場合、三角形内の射 φ は2項複体内の射 s と一致し、ランク1の場合の一般化となる。
• H⁻¹(E) = I_C がCohen-Macaulay曲線 C の理想層であるとき、この構成は既知のランク1安定対象を回復し、層の商と双対性を用いて高ランクに拡張される。