[論文レビュー] A relationship between trees and Kelly-Mac Lane graphs

Eugenia Cheng|ArXiv.org|Apr 21, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、opetopic nカテゴリにおける使用されるcombed木と、特定の形状の許容可能ケリー＝マクレーングラフとの間で、正確な圏的同値性を確立する。すべてのcombed木は、形 $X_{m_1} \bigotimes \bigotimes X_{m_k} \to X_{(\sum m_i - k + 1)}$ の許容可能なグラフに一意に対応し、逆に、このような許容可能なグラフすべてが一意にcombed木を定義する。これにより、対称モノイダル閉圏内でのこれらの組合せ的構造に対する新しい代数的特徴づけが得られる。

ABSTRACT

We give a precise description of combed trees in terms of Kelly-Mac Lane graphs. We show that any combed tree is uniquely expressed as an allowable Kelly-Mac Lane graph of a certain shape. Conversely, we show that any such Kelly-Mac Lane graph uniquely defines a combed tree.

研究の動機と目的

• opetopic nカテゴリで用いられるcombed木とケリー＝マクレーンフレームワーク内のグラフとの間で、正確な圏的対応を確立すること。
• combed木が、特定の形状の許容可能なケリー＝マクレーングラフと一対一対応することを示すこと。
• 一つの対象上の自由対称モノイダル閉圏における射の構造を通じて、木の新しい代数的特徴づけを提供すること。
• 任意の木のグラフが許容可能であり、必要な形状の許容可能なグラフすべてが一意に木から生じることを示すこと。

提案手法

• 1, I, ⊗, および [ , ] を用いた帰納的規則によって、ケリー＝マクレーングラフの形状と変数の変動性を定義する。
• ドメインおよびコドメインの変動リストにおいて、反対の変動性を持つ変数の固定点のないペアリングとしてグラフを構成する。
• ケリーとマクレーン（1991）の定理1.1を用いて、合成に関して閉じており、整合性条件を満たすものとして許容可能な射を特徴づける。
• 形式的および非形式的な帰納的構成によりcombed木を定義し、その構造を変数ペアリングとして符号化することで、グラフへ写像する。
• 必要十分な適合性および非循環性条件を満たすことで、任意の木のグラフが許容可能であることを示す。
• 逆を示すために、必要な形状の許容可能な射を構成し、それが逆写像を通じて一意な木から生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 opetopic nカテゴリで生じるcombed木は、ケリー＝マクレーンフレームワーク内のグラフとして正確に特徴づけられるか？
• RQ2 combed木と特定形状の許容可能なケリー＝マクレーングラフとの間には一対一対応が存在するか？
• RQ3 形 $X_{m_1} \otimes \cdots \otimes X_{m_k} \to X_{(\sum m_i - k + 1)}$ の許容可能なケリー＝マクレーングラフすべてが、一意なcombed木に対応するか？
• RQ4 ケリー＝マクレーングラフが許容可能であり、かつ木に対応するための構造的条件は何か？
• RQ5 一つの対象上の自由対称モノイダル閉圏の閉圏構造は、木の構成とどのように関係するか？

主な発見

• すべてのcombed木は、$X_m = [1^{\otimes m}, 1]$ である形 $X_{m_1} \otimes \cdots \otimes X_{m_k} \to X_{(\sum m_i - k + 1)}$ の許容可能なケリー＝マクレーングラフに一意に対応する。
• 逆に、この特定形状の許容可能なケリー＝マクレーングラフすべてが一意にcombed木を定義する。
• ケリーとマクレーン（1991）の定理1.1における適合性条件を用いて、任意の木のグラフが許容可能であることを証明した。
• あるインデックス集合 $\{t_1, \dots, t_n\}$ が存在し、各 $j$ に対して $A_{t_j}$ が $A_{t_j b_j}$ とペアリングされる場合、その形の射は許容可能でない（閉ループが生じる）。
• テンソル積と双対性写像を用いて $\theta_p$ を構成することで、逆方向の非許容性を示すための主要な道具が得られる。
• この対応により、このような木の圏が、一つの対象上の自由対称モノイダル閉圏における指定形状の許容可能な射の完全部分圏と圏的に同値であることが示された。