[論文レビュー] A relative higher index theorem, diffeomorphisms and positive scalar curvature

Zhizhang Xie, Guoliang Yu|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、無限遠で正のスカラー曲率を持つ完全なスピン多様体に対して相対的 higher index 定理を確立し、閉多様体とそのガロア被覆上での2つの正のスカラー曲率計量が、そのような計量の空間内で同一連結成分に属しないことを妨げる2次的な higher index 級を導入する。一方の計量が多様体の微分同相写像によって誘導される場合、この index 級に対して計算可能な公式が得られ、それが Baum-Connes 代数写像の像に属することを証明する。

ABSTRACT

We prove a general relative higher index theorem for complete manifolds with positive scalar curvature towards infinity. We apply this theorem to study Riemannian metrics of positive scalar curvature on manifolds. For every two metrics of positive scalar curvature on a closed manifold and a Galois cover of the manifold, we define a secondary higher index class. Non-vanishing of this higher index class is an obstruction for the two metrics to be in the same connected component of the space of metrics of positive scalar curvature. In the special case where one metric is induced from the other by a diffeomorphism of the manifold, we obtain a formula for computing this higher index class. In particular, it follows that the higher index class lies in the image of the Baum-Connes assembly map.

研究の動機と目的

• 無限遠で正のスカラー曲率を持つ完全な多様体に対して相対的 higher index 定理を構築すること。
• 閉多様体とそのガロア被覆上での2つの正のスカラー曲率計量が、そのような計量の空間内で同一連結成分に属しないことを妨げる2次的な higher index 級を定義すること。
• 多様体の微分同相写像によって1つの計量が誘導される場合に、この index 級に対して計算可能な公式を導出すること。
• 得られた higher index 級が Baum-Connes 代数写像の像に属することを示し、非可換幾何学における深い予想と結びつけること。

提案手法

• コンパクト集合の外部で正のスカラー曲率を持つ完全なスピン多様体のガロア被覆上のディラック作用素を用いて相対的 higher index 定理を構築する。
• 2つの多様体を超曲面に沿って貼り合わせることで相対 index 級を定義し、新たな多様体を構成する。この多様体のディラック作用素の higher index 級が、元の index 級の差に等しくなる。
• 多様体の端におけるスピン接続の等長写像およびバンドルの等長写像の持ち上げを用いて、貼り合わせ過程での整合性を保証する。
• 正則性および有界性を index 計算で制御するために、楕円的擬微分作用素およびソボレフノルムの理論を適用する。
• 特に微分同相写像誘導の場合に、2次 index 級が Baum-Connes 代数写像の像に属することを示すために、この写像の理論を活用する。
• 証明は複素 $C^*$-代数の設定に限って提示されるが、実 $C^*$-代数への一般化を示唆し、実の場合への適応についての注意事項を挿入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉多様体とそのガロア被覆上での2つの正のスカラー曲率計量が、そのような計量の空間内で同一連結成分に属しない理由は何か？
• RQ2 無限遠で正のスカラー曲率を持つ完全な多様体に対して、どのように相対的 higher index 定理を定式化できるか？
• RQ3 1つの計量が多様体の微分同相写像によって誘導される場合、2次的な higher index 級を明示的に計算できるか？
• RQ4 微分同相写像によって誘導される場合、2次的な higher index 級は Baum-Connes 代数写像の像に属するか？
• RQ5 超曲面とガロア被覆を含む貼り合わせ構成において、ディラック作用素およびその higher index の幾何的・解析的性質はどのように振る舞うか？

主な発見

• 相対的 higher index 定理により、貼り合わせられた多様体 $X_2$ の higher index 級が、元の多様体の higher index 級の差に等しいことが示された：$\textup{Ind}(D_2) = \textup{Ind}(D_0) - \textup{Ind}(D_1)$。
• 閉多様体とそのガロア被覆上での2つの正のスカラー曲率計量に対して関連する2次的な higher index 級は、それらがそのような計量の空間内で同一連結成分に属しないことを妨げる位相的障害である。
• 1つの計量が他方の計量を微分同相写像によって誘導する場合、2次 index 級は計算可能であり、かつ Baum-Connes 代数写像の像に属する。
• 定理は実および複素 $C^*$-代数の両方に適用可能であり、詳細は複素の場合に提示され、実の場合への修正についての注意が示されている。
• 証明は楕円的擬微分作用素の理論、ソボレフノルム、および $\mathcal{A}$-バンドル上の制限写像に依存しており、特にパラメトリックス構成により主要な推定が確立されている。
• ソボレフ空間上の制限写像は、$s > k/2$ に対して不等式 $\langle\langle R\sigma,R\sigma\rangle\rangle_{s-k/2} \leq C\langle\langle\sigma,\sigma\rangle\rangle_s$ を満たす。これは、index 計算における正則性制御に不可欠である。