[論文レビュー] A Relative Theory of Interleavings

Magnus Bakke Botnan, Justin Curry+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2020

Labor market dynamics and wage inequality被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非自明な平行移動を持たないポセット（例えば、ジグザグポセットや胞体複体の面ポセットなど）に対し、超線形な平行移動族を持つターゲットポセットへ埋め込むことで、インタリービング距離を一般化する相対的理論を導入する。主な貢献は、引き戻し関手と押し出し関手を用いた相対的インタリービング距離であり、それがターゲットポセットにおける元の距離と等長であることが証明されており、トポロジカルデータ解析における安定な推論とピクセル化に基づく近似を可能にする。

ABSTRACT

The interleaving distance, although originally developed for persistent homology, has been generalized to measure the distance between functors modeled on many posets or even small categories. Existing theories require that such a poset have a superlinear family of translations or a similar structure. However, many posets of interest to topological data analysis, such as zig-zag posets and the face relation poset of a cell-complex, do not admit interesting translations, and consequently don't admit a nice theory of interleavings. In this paper we show how one can side-step this limitation by providing a general theory where one maps to a poset that does admit interesting translations, such as the lattice of down sets, and then defines interleavings relative to this map. Part of our theory includes a rigorous notion of discretization or "pixelization" of poset modules, which in turn we use for interleaving inference. We provide an approximation condition that in the setting of lattices gives rise to two possible pixelizations, both of which are guaranteed to be close in the interleaving distance. Finally, we conclude by considering interleaving inference for cosheaves over a metric space and give an explicit description of interleavings over a grid structure on Euclidean space.

研究の動機と目的

• 既存のインタリービング理論が、インデックスポセットに超線形な平行移動族を要するという制限を克服する。これは、トポロジカルデータ解析における重要なポセット（ジグザグポセット、面ポセットなど）では満たされない条件である。
• 非自明な平行移動を備えたターゲットポセットへ写像することで、任意のポセットにおけるインタリービング距離を定義する一般的な枠組みを構築すること。
• 引き戻しと押し出し操作を用いたポセットモジュールの離散化（「ピクセル化」）の概念を形式化し、連続的構造の近似を可能にする。
• このようなピクセル化が、誤差を有界に保つ範囲でインタリービング距離を保存する条件を確立し、推論における理論的安定性を保証すること。

提案手法

• Qが超線形な平行移動族を備えると仮定し、f: P → Q なるポセット写像を用いて相対的インタリービング距離を定義する。
• モジュールとインタリービングをPからQ、および逆にQからPへ、引き戻し関手f*と押し出し関手f*を用いて移動させる。
• 写像f: P → Qにδ-近似条件を導入し、インタリービング距離における歪みを制御する。
• 押し出し関手f*がその像上での等長写像であることを証明し、Qに引き上げた際のP上の距離が保存されることを保証する。
• f* f* Mを用いた2種類のピクセル化を構成し、三角不等式を用いてそれらが2δ-インタリービングであることを示す。
• R^n上のコシェーブに適用するため、R^nにグリッド構造を導入し、セルの離散的オフセットが十分であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジグザグポセットや胞体複体の面ポセットのように、非自明な平行移動を持たないポセットに対しても、インタリービング距離を定義できるか？
• RQ2 非自明な平行移動を備えたターゲットポセットQに写像することで、ポセットPに対して安定的かつ相対的なインタリービング距離を定義できるか？
• RQ3 連続的構造を制御された誤差範囲内で保存するように、P-モジュールを離散化（ピクセル化）して近似することは可能か？
• RQ4 f: P → Q によるQ-モジュールの引き戻し操作が、小さな歪みの範囲でインタリービング距離を保存する条件は何か？
• RQ5 メトリック空間上のコシェーブのインタリービング推論を、離散的グリッドベースの計算に還元できるか？

主な発見

• 押し出し関手f*はその像上での等長写像であるため、P上の相対的インタリービング距離はQ上のインタリービング距離と等長であり、安定性が保たれる。
• 2種類のピクセル化操作f* f* Mが2δ-インタリービングであることが示され、ラティスに基づく構成によるP-モジュールの安定的近似が可能になる。
• Lがラティスで、f: L → Qがδ-近似であるとき、引き戻しf*によるインタリービング距離の歪みは最大2δに抑えられ、歪みの上限が確立される。
• グリッドのスケーリングがδで有界な場合、R^n上のコシェーブのインタリービング推論は、連続的な開集合の成長を離散的セルオフセットに置き換えることで可能になる。
• グリッドのスケーリングがδで有界であれば、コシェーブのインタリービングは、セルの離散的オフセットのみを用いて計算可能であり、実用的な計算還元が正当化される。
• 下セットの超線形な平行移動族を持つラティスへの埋め込みを通じて、任意のポセットへ一般化可能であり、従来は取り扱いが困難であったケースへのインタリービング理論の適用範囲が拡張される。