[論文レビュー] A remark on a conjecture of Hain and Looijenga

Carel Faber|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、曲線のモジュライ空間のタウトロジカルな環に関する3つの主要な予想——コンpact型、有理尾、安定曲線のモジュライ空間におけるゴレンシュタイン予想——の深い等価性を確立する。Conjecture (A) と (C) が普遍的に成り立つのは、有理尾のための一般化されたハイン＝ルージェンジャの予想 (E) が成り立つときであり、かつそのときに限る。この結果により、コンパクトに台を持つタウトロジカルな類のPoincaré双対性、双対ペアリング、および加群構造が結びつけられる。

ABSTRACT

After recalling the various tautological algebras of the moduli space of curves and some of its partial compactifications and stating several well-known results and conjectures concerning these algebras, we prove that the natural extension to the case of pointed curves of a 1996 conjecture of Hain and Looijenga is true if and only if two of the stated conjectures are true.

研究の動機と目的

• モジュライ空間 $M^{rt}_{g,n}$, $M^{ct}_{g,n}$, および ${\overline{M}}_{g,n}$ のタウトロジカルな環に関するゴレンシュタイン予想の等価性を確立すること。
• Hain-Looijengaの予想 (Conjecture 1) を $n=0$ から $n>0$ に一般化するために、$R^\bullet_c(M^{rt}_{g,n})$ を導入すること。
• タウトロロジカル環 $R^\bullet(M^{rt}_{g,n})$ と $R^\bullet({\overline{M}}_{g,n})$ のゴレンシュタイン性が、$R^\bullet(M^{rt}_{g,n})$-加群としての $R^\bullet_c(M^{rt}_{g,n})$ の自由性および双対構造と同値であることを証明すること。
• 主要な予想のいずれかが失敗すれば、コンパクトに台を持つタウトロジカルな環に反例が生じることを示し、それによって双対性を通じてそれらの妥当性が結びつくこと。

提案手法

• コンパクトに台を持つタウトロロジカルな類の理想として $R^\bullet_c(M^{rt}_{g,n})$ を定義し、Hain と Looijenga のコンパクトに台を持つタウトロジカルな環の一般化を行う。
• 標準的な接続写像および忘却写像に沿った押し出し・引き戻し写像を用いて、タウトロジカルな類の性質と境界の退化における挙動を分析する。
• 双対ペアリング $R^k(M^{rt}_{g,n}) \times R^{3g-3+n-k}_c(M^{rt}_{g,n}) \to \mathbb{Q}$ を用いて、完全性および加群構造をテストする。
• 部分順序 $(g',n') \leq (g,n)$ における帰納法を用い、問題を最小の反例に還元する。
• 既知の $R^\bullet(M^{rt}_{g,n})$, $R^\bullet(M^{ct}_{g,n})$, および $R^\bullet({\overline{M}}_{g,n})$ に関する消滅および双対性結果を用いて、予想間の含意関係を導出する。
• Conjecture (E) の下で $\lambda_g\lambda_{g-1}$ が $R^\bullet_c(M^{rt}_{g,n})$ を $R^\bullet(M^{rt}_{g,n})$-加群として自由に生成することを用い、これが (A) と (C) のゴレンシュタイン性を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タウトロジカル環 $R^\bullet(M^{rt}_{g,n})$ が、次数 $g-2+n-\delta_{0g}$ にソープルをもつゴレンシュタイン的であることは、$R^\bullet_c(M^{rt}_{g,n})$ が $R^\bullet(M^{rt}_{g,n})$-加群としてランク1の自由加群であることと同値であるか？
• RQ2 ペアリング $R^k(M^{rt}_{g,n}) \times R^{3g-3+n-k}_c(M^{rt}_{g,n}) \to \mathbb{Q}$ の完全性は、$R^\bullet({\overline{M}}_{g,n})$ のゴレンシュタイン性を示唆するか？
• RQ3 タウトロジカルな双対性とコンパクトに台を持つ類の構造を用いて、$n>0$ の場合のHain-Looijenga予想を一般化できるか？
• RQ4 ゴレンシュタイン予想 (A), (B), (C) と $R^\bullet_c(M^{rt}_{g,n})$ の加群論的構造との正確な関係は何か？
• RQ5 もし $R^\bullet_c(M^{rt}_{g,n})$ が $R^\bullet(M^{rt}_{g,n})$-加群として自由でなければ、ゴレンシュタイン予想 (A) や (C) の失敗を示唆するか？

主な発見

• Conjecture (A) と (C) がすべての $(g,n)$ で成り立つのは、Conjecture (E) がすべての $(g,n)$ で成り立つときであり、かつそのときに限る。これにより、ゴレンシュタイン予想と一般化されたハイン＝ルージェンジャ双対性の完全な等価性が確立される。
• Conjecture $E_{(g,n)} \Rightarrow A_{(g,n)}$ の含意は、$\lambda_g\lambda_{g-1}$ が $R^\bullet_c(M^{rt}_{g,n})$ を自由に生成しない場合、ペアリングに非自明な核が生じるため成り立つ。
• Conjecture $A_{(g,n)}$ と $C_{(g,n)} \Rightarrow D_{(g,n)}$ の含意は、$R^\bullet_c(M^{rt}_{g,n})$ や $R^\bullet(M^{rt}_{g,n})$ の非自明なクラスがすべての双対クラスとペアリングでゼロになる場合、(A) や (C) のいずれかに矛盾が生じることを示すことによって確立される。
• $R^\bullet_c(M^{rt}_{g,n})$ が $R^\bullet(M^{rt}_{g,n})$-加群として自由であることと、$\lambda_g\lambda_{g-1}$ による乗法の単射性および全射性が同値であり、ゴレンシュタイン仮定の下ではこれらが等価である。
• この結果により、$\overline{M}_{1,n}$（$g=1$ の場合のConjecture C）のゴレンシュタイン予想が成り立つのは、$E_{(1,n)}$ が成り立つときであり、かつそのときに限る。これは後に Petersen によって確認された。
• 本稿は、双対性と加群構造を通じて、ゴレンシュタイン予想を統一的に理解する概念的枠組みを提供し、(A) と (C) の妥当性を有理尾の部分空間における単一の予想 (E) に還元する。