[論文レビュー] A remark on Fano threefolds with canonical Gorenstein singularities

Yuri Prokhorov|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、非cDV点からの射影と双有理幾何学的技法を用いて、正則でGorenstein特異点をもつFano三様立体の有理的条件を確立する。このような三様立体は、双曲的でなく、特定の例外的ケース（円錐束や低 genus に関するもの）に属する場合を除き有理的であることが示され、重み付き超曲面と吹き上げを用いて非有理的例が構成されている。

ABSTRACT

We give some rationality constructions for Fano threefolds with canonical Gorenstein singularities.

研究の動機と目的

• 正則でGorenstein特異点をもち、非cDV特異点をもつFano三様立体の有理的条件を特定すること。
• 滑らかでないFano三様立体に対しても、滑らかでない場合を含めた有理的結果を拡張すること。
• このようなFano三様立体が非有理的となる例外的ケース（特に双曲的設定下）を分類すること。
• 射影と重み付き吹き上げを用いた双有理的構成法を提供し、特異点とファイブレーションを分析すること。
• 基点自由な反標準線形成系をもつFano三様立体（次数 2g−2）の有理的性の問題を解決すること。

提案手法

• 非cDV特異点からの射影を用いて有理的写像を構成し、それらのファイブレーションを分析する。
• [CF] および [A] の技法を用いて反標準線形成系の幾何とその基点集合を研究する。
• 重み付き吹き上げを用いて非cDV特異点を解消し、円錐束構造をもつ滑らかなモデルを得る。
• 極小収縮と[Cu]によるGorenstein端末三様立体の分類に依拠して分析を行う。
• 接続理論と円錐束における判別式集合の研究を用いて非有理的性を検出する。
• 三様立体の双有理型を、[Be] や [CG] における既知の非有理的モデルと比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則でGorenstein特異点をもち、基点自由な反標準線形成系をもつFano三様立体が、どのような条件下で有理的となるか。
• RQ2 非cDV特異点を用いて、Fano三様立体の有理的条件を構築できるか。
• RQ3 有理的条件を満たしても非有理的となる、Fano三様立体の例外的ケースとは何か。
• RQ4 非cDV特異点をもつ双曲的Fano三様立体は、双有理的にどのように振る舞い、いつ非有理的となるか。
• RQ5 非cDV特異点をもつ重み付き超曲面は、Fano三様立体分類における非有理的例として用いられるか。

主な発見

• 基点自由な |−K_X| をもち、少なくとも1つの非cDV点をもつ次数 2g−2 のFano三様立体は、P^4 における四次超曲面または P^5 における二次と三次超曲面の完全交差を除き有理的である。
• 双曲的Fano三様立体は、反標準写像の像が次数 g−1 の曲面の錐である場合および三様立体が双有理的に円錐束である場合を除き有理的である。
• g ≤ 4 の場合、双曲的Fano三様立体は非有理的となる可能性があり、有理的性は特異点の性質に依存する。
• 非有理的例として、重み付き超曲面 X ⊂ P(1,1,1,1,3) が構成され、方程式 x₀²(x₁⁴+x₂⁴+x₃⁴) + x₁⁶+x₂⁶+x₃⁶ = x₄² で定義され、点 (1,0,0,0,0) に非cDV特異点をもつ。
• この特異点の重み付き吹き上げにより、P² 上の円錐束となる滑らかなモデルが得られ、判別式曲線が可約であることが確認され、[Sh] により非有理的性が裏付けられる。
• Fano三様立体に非cDV点が存在する限り、反標準線形成系が基点自由であれば、特異点が端末より悪い場合や ρ > 1 であっても有理的である。