[論文レビュー] A Remark on Formal KMS States in Deformation Quantization

Martin Bordemann, Hartmann Roemer+1 more|ArXiv.org|Jan 30, 1998

Advanced Topics in Algebra参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、変形量力学における形式的KMS状態を、C[[λ]]-線形汎関数として定義し、その形式的KMS条件を満たすものとして導入する。任意の温度において、このような状態が存在し、正規化を除いて一意に定まることを証明しており、これは統計力学におけるボルツマン因子に類似した形式的スター指数関数を関数と乗じたトレースとして表される。

ABSTRACT

In the framework of deformation quantization we define formal KMS states on the deformed algebra of power series of functions with compact support in phase space as C[[λ]]-linear functionals obeying a formal variant of the usual KMS condition known in the theory of C^*-algebras. We show that for each temperature KMS states always exist and are up to a normalization equal to the trace of the argument multiplied by a formal analogue of the usual Boltzmann factor, a certain formal star exponential.

研究の動機と目的

• 平衡統計力学において中心的な役割を果たすKMS状態の概念を、変形量力学の形式的枠組みへと拡張すること。
• 変形パラメータλに関する形式的べき級数代数の文脈において、KMS条件の形式的類似を定義すること。
• 任意の与えられた温度に対して、形式的KMS状態の存在と一意性（正規化を除いて）を確立すること。
• これらの状態の明示的な形を、形式的スター指数関数を用いた重み付きトレースとして同定すること。これはボルツマン因子に類似している。
• 形式的変形量力学の文脈において、平衡状態の厳密な代数的構成を提供すること。

提案手法

• 位相空間上の滑らかなコンパクト台付き関数の形式的べき級数代数上のC[[λ]]-線形汎関数として、形式的KMS状態を定義する。
• スター積代数における時間順序積の下での汎関数の循環性を用いて、KMS条件の形式的版を定式化する。
• ハミルトニアンHと逆温度βを用いて、形式的ボルツマン因子を形式的スター指数関数exp_*(−βH/ℏ)として構成する。
• この形式的スター指数関数との乗算を伴うトレース汎関数が、形式的KMS条件を満たすことを示す。
• 形式的トレースとスター指数関数を用いて、循環性を満たし、λに関する形式的べき級数の意味でKMS条件を満たす状態汎関数を定義する。
• 任意の形式的KMS状態が、この構成に比例している必要があることを証明し、正規化を除いて一意性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 KMS状態の概念は、形式的変形量力学の枠組みに一貫して拡張可能か？
• RQ2 C[[λ]]上のべき級数代数の文脈において、形式的KMS状態の代数的構造は何か？
• RQ3 形式的設定において、任意の逆温度βに対して形式的KMS状態は存在するか？
• RQ4 形式的スター指数関数とトレースを用いて、形式的KMS状態の明示的な関数的形は何か？
• RQ5 形式的KMS状態は正規化を除いて一意に定まるか？

主な発見

• 形式的変形量力学の設定において、任意の逆温度βに対して形式的KMS状態が存在する。
• すべての形式的KMS状態は、形式的スター指数関数exp_*(−βH/ℏ)を関数と乗じたトレースに比例しており、これはボルツマン因子の形式的類似である。
• この構成により、形式的KMS条件が満たされ、標準的なKMS条件が形式的べき級数フレームワークへ一般化される。
• 状態の正規化はKMS条件によって固定されないが、すべてのこのような状態はスカラー倍を除いて一意に定まる。
• この構成は、変形量力学における量子統計力学の平衡状態の形式的代数的実現を提供する。
• この結果により、形式的変形量力学と量子系における平衡状態の代数的構造との直接的な関連が確立される。