[論文レビュー] A remark on Fremlin-Miller theorem concerning the Menger property and Michael concentrated sets

Józef Chaber, Roman Pol|arXiv (Cornell University)|May 18, 2023

Advanced Topology and Set Theory被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、Michaelの積空間における濃縮集合の構成法を用いて、Fremlin–MillerのMenger性に関する定理を強化し、空内部をもつコンパクト部分集合をもたない完全な距離化可能で分離可能な空間において、すべての有限冪がMenger的であるがσ-コンパクト集合に含まれない部分集合Mが存在することを示している。この結果により、ZFCのもとでdの値に依存しない非σ-コンパクトなMenger空間の存在が保証される。

ABSTRACT

The theorem we prove is a slight strengthening of some results by Just, Miller, Scheepers and Szeptycki [JMSS]. We use the Michael technique instead of the combinatorial approach in the literature. Comments by the submitter: This short unpublished paper, written in 2002, is a cornerstone in the study of selection principles and classic covering properties. It is the first to solve the Hurewicz Problem, by showing that there is, in ZFC, a real set with Menger's covering property (indeed, in all finite powers) but without Hurewicz's covering property. Unfortunately, web searches begin to miss this paper, and I sought, and received, permission from the authors to store this paper in the ArXiv, providing it a permanent link. The author's decision to not publish this paper, in light of some later stronger results by other authors (including myself), is a true act of generosity. Hopefully, this submission does some justice to their achievement.

研究の動機と目的

• Menger性に関するFremlin–Millerの定理を、より広いクラスの位相的空間へと拡張すること。
• 空内部をもつコンパクト部分集合をもたない完全な距離化可能で分離可能な空間において、すべての有限冪がMenger的であるがσ-コンパクト集合に含まれない非σ-コンパクト部分集合Mの存在を示すこと。
• 従来の組合せ的アプローチを避けるために、Michaelによる積空間における濃縮集合の構成法を用いてこの結果を得ること。
• dの値にかかわらず構成が成立すること、特にb = dのときにも成立することを示すこと。

提案手法

• 完全な距離化可能で分離可能な空間Xへの性質の持ち上げのため、f: ℕ^ℕ → X を用い、perfectな全射を用いる。
• F(t) = {s ∈ ℕ^ℕ : s ≤* t} をℕ^ℕにおけるσ-コンパクト集合と定義し、それをXにおけるF_α = f(F(t_α)) に持ち上げる。
• b = d のとき、ℕ^ℕにおけるスケール {t_α : α < d} を構成し、それを用いてX^m(ξ)におけるQ^m を含むネストされたG_δ集合G_ξを生成する。
• 超限帰納法を用いて、x_α ∈ X \ Q を選ぶことで、B = {x_α : α < d} を構成し、M = Q ∪ B がすべての有限冪においてQの周りに濃縮するようにする。
• 各x_αがF_αの外にあるように選ぶことで、BがXの任意のσ-コンパクト部分集合に含まれないように保証する。
• X^m におけるQ^m を含むd未満のG_δ集合の任意の族は共通のG_δ近傍を持つという性質を用い、帰納的構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fremlin–Millerの定理は、空内部をもつコンパクト部分集合をもたない一般の完全な距離化可能で分離可能な空間において、非σ-コンパクトなMenger空間を構成するために拡張可能か？
• RQ2 Michaelによる濃縮集合の構成法を用いることで、Menger有限冪をもちながらσ-コンパクトではない空間MのZFCによる構成が可能か？
• RQ3 基数不変量dが、d未満のサイズの空間におけるMenger性を保証する役割を果たすのはどのような場合か、特にb = dのとき？
• RQ4 空間X内の集合Mが任意のσ-コンパクト集合に含まれないが、すべての有限冪がMenger的であるように保証するにはどうすればよいか？
• RQ5 超限帰納法を用い、積空間におけるG_δ集合を用いて、Qを基準とするMの濃縮性を構成できるか？

主な発見

• 空内部をもつコンパクト部分集合をもたない任意の完全な距離化可能で分離可能な空間Xに対して、すべての有限冪がMenger的であるような部分集合M = Q ∪ B が存在する。
• Bは超限帰納法により構成され、MがXの任意のσ-コンパクト部分集合に含まれないことを保証する。
• 構成法は、Qの周りでの濃縮性を保ちつつ、σ-コンパクト集合F_αの外側から点を選択するMichaelの技法に依存している。
• b < d のとき、サイズbの非有界集合B ⊂ ℕ^ℕ に対して、M = f(B) はすべての有限冪でMenger的であり、σ-コンパクトではない。
• b = d のとき、{t_α : α < d} を用いたスケールの存在により、X^m(ξ)におけるG_δ集合G_ξ を構成でき、Q^m を含むd未満のG_δ集合の任意の族は共通のG_δ近傍を持つ。
• 結果として得られる空間M = Q ∪ B は強い濃縮性を満たす：任意のmおよびQ^m を含むG_δ集合の族H（|H| < d）に対して、M^m \ ⋂H はd未満の超平面の和集合に含まれる。