[論文レビュー] A remark on gauge invariance in wavelet-based quantum field theory

Sergio Albeverio, M. V. Altaĭsky|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2009

Image and Signal Denoising Methods参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、局所場の連続ウェーブレット変換を用いてスケール依存のゲージ場 $A_{\mu a}(x)$ を導入することにより、ウェーブレットに基づく非局所ゲージ場理論を定式化する。修正されたゲージ変換則を確立し、運動量空間における非局所 Ward-Takahashi 恒等式を導出し、ウェーブレットカーネルの積分によって支配される修正された頂点関数構造のおかげで、ウェーブレット表現枠組み内でもゲージ不変性が保存されることを示す。

ABSTRACT

Wavelet transform has been attracting attention as a tool for regularization of gauge theories since the first paper of (Federbush, Progr. Theor. Phys. 94, 1135, 1995), where the integral representation of the fields by means of the wavelet transform was suggested: $$A_μ(x) = \frac{1}{C_ψ} \int_{\R_+ imes\R^d} \frac{1}{a^d} g \left(\frac{x-b}{a} ight) A_{μa}(b) \frac{dad^db}{a},$$ with $A_{μa}(b)$ being understood as the fields $A_μ$ measured at point $b\in \R^d$ with resolution $a\in\R_+$. In present paper we consider a wavelet-based theory of gauge fields, provide a counterpart of the gauge transform for the scale-dependent fields: $A_{μa}(x) o A_{μa}(x)+\d_μf_a(x)$, and derive the Ward-Takahashi identities for them.

研究の動機と目的

• 量子場理論における紫外発散を正則化するためにウェーブレット変換を用いた非局所ゲージ場理論を開発すること。
• 解像度依存の場を導入することにより、量子場理論における厳密な局所的因果性と局所化の破綻を扱うこと。
• スケール依存場 $A_{\mu a}(x)$ に対して局所ゲージ不変性を再定式化し、フェルミオン場の変換と整合性を保つこと。
• ウェーブレット表現枠組み内での連結グリーン関数および頂点関数の Ward-Takahashi 恒等式を導出すること。
• 場が連続ウェーブレット変換によって表現される場合、有効作用がどのようにしてゲージ不変性を保つのかを示すこと。

提案手法

• 局所ゲージ場 $A_\mu(x)$ を連続ウェーブレット変換として表現する：$A_{\mu a}(x) = \frac{1}{C_g} \int \frac{1}{a^d} g\left(\frac{x-b}{a}\right) A_{\mu a}(b) \frac{da \, d^d b}{a}$、解像度依存性を導入する。
• スケール依存場のための修正されたゲージ変換を定義する：$A_{\mu a}(x) \to A_{\mu a}(x) + \partial_\mu f_a(x)$、ここで $f_a(b)$ は元のゲージ関数 $f(x)$ のウェーブレット変換である。
• 波レット表現下でも局所位相対称性を保つために、物質場の変換 $\psi(x) \to \psi(x) \exp\left(-\frac{ie}{C_g} \int \cdots \right)$ に不変性を課す。
• 生成関数 $Z[J,\bar{\eta},\eta]$ を導出し、関数的微分を適用して連結グリーン関数の Ward-Takahashi 恒等式を導出する。
• Legendre 変換を実行して頂点関数 $\Gamma[\psi,\bar{\psi},A_\mu]$ を得る。運動量空間における非局所 Ward-Takahashi 方程式を導出する。
• フーリエ変換を用いて頂点関数および逆 propagator を表現し、ウェーブレットカーネル積分 $\tilde{M}$ を含む運動量空間恒等式を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウェーブレットに基づく量子場理論において、局所ゲージ不変性をスケール依存場 $A_{\mu a}(x)$ に一貫的に拡張する方法は何か？
• RQ2 ウェーブレット変換された場から導かれる非局所グリーン関数のための Ward-Takahashi 恒等式の形は何か？
• RQ3 ウェーブレットカーネル $\tilde{M}$ は、局所の場合と比較してゲージ理論的恒等式の構造をどのように変更するか？
• RQ4 場が連続ウェーブレット変換によって表現される場合、有効作用におけるゲージ不変性は保たれるか？
• RQ5 この非局所枠組みにおける運動量空間における Ward-Takahashi 恒等式の類似形は何か？

主な発見

• 本稿は運動量空間における非局所 Ward-Takahashi 恒等式を導出し、$q^\mu \Gamma_{\mu a_4 a_3 a_1}(p,q,p+q) = \int \frac{da_2}{a_2} \left[ S_{a_1 a_2}^{-1}(p+q) \tilde{M}_{a_2 a_3 a_4}(p+q,q,p) - \tilde{M}_{a_1 a_3 a_2}(p+q,q,p) S_{a_2 a_4}^{-1}(p) \right]$ と表される。これは局所の場合を一般化する。
• ウェーブレットカーネル $\tilde{M}_{a_1 a_2 a_3}(k_1,k_2,k_3) = (2\pi)^d \delta^d(k_1-k_2-k_3) \overline{\tilde{g}}(a_1 k_1) \tilde{g}(a_2 k_2) \tilde{g}(a_3 k_3)$ が頂点関数の非局所構造を支配する。
• 生成関数の関数的微分構造のおかげで、ゲージ不変性はウェーブレット変換された源項の1次補正まで保存される。
• 頂点関数 $\Gamma_{\mu a_4 a_3 a_1}(p,q,p+q)$ は、ウェーブレットのフーリエ変換 $\tilde{g}$ に明示的に依存する運動量空間方程式を満たし、解像度依存結合を通して非局所性を示す。
• 導出結果は、ウェーブレットに基づく定式化が、物質場およびゲージ場の両方の変換則を一貫して適用することにより、ゲージ不変性を維持することを確認する。
• 主な結果は、運動量空間における Ward-Takahashi 恒等式であり、$a \to 0$ の極限で標準的な局所形式に還元されることから、従来の QED と整合性が保たれることを検証する。