[論文レビュー] A Remark on Hypercontractive Semigroups and Operator Ideals

Gilles Pisier|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2007

Advanced Banach Space Theory参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ジョンソンとシェクティマンが提起した超合同的半群に関する問題を解決する。$1 < p < 2$ に対して、任意の正則半群 $T(t)$ が、ある弱い超合同的条件（すなわち、ある $s > 0$ に対して $T(s)$ が $L_p$ を $L_2$ に写像する）を満たす場合、そのすべての作用素 $T(t)$ がヒルベルト空間を経由する作用素のノルム閉包に属することを証明する。この結果は、複素補間と複素平面における三角形領域上の調和測度の議論から導かれる。具体的には、$T(t)$ は $L_p \to L_2$ ノルムが小さい作用素によるノルム近似が可能であることが示される。

ABSTRACT

In this note, we answer a question raised by Johnson and Schechtman \cite{JS}, about the hypercontractive semigroup on $\{-1,1\}^{\NN}$. More generally, we prove the folllowing theorem. Let $10}$ be a holomorphic semigroup on $L_p$ (relative to a probability space). Assume the following mild form of hypercontractivity: for some large enough number $s&gt;0$, $T(s)$ is bounded from $L_p$ to $L_2$. Then for any $t&gt;0$, $T(t)$ is in the norm closure in $B(L_p)$ (denoted by $\bar{Γ_2}$) of the subset (denoted by ${Γ_2}$) formed by the operators mapping $L_p$ to $L_2$ (a fortiori these operators factor through a Hilbert space).

研究の動機と目的

• ジョンソンとシェクティマンが $\{-1,1\}^{\mathbb{N}}$ 上の超合同的半群の構造に関して提起した問題を解決すること。
• 超合同的半群が $L_p$ 上に存在する場合（$1<p<2$）、その作用素がヒルベルト空間を経由する作用素のノルム閉包に属することを確立すること。
• 結果を $L_p$ 空間を超えて任意のバナッハ空間および互換性のあるノルムを持つ左イデアルへ一般化すること。
• 他の超合同的設定（例えばフェルミオン的半群や $H^p$ 空間）にも適用可能な一般原理を提示すること。

提案手法

• 複素平面における三角形領域 $K$ を用いて、正則性を活用する $L_p$ 空間上の正則半群の使用。
• 領域 $V$ の境界上で調和測度 $\mu$ を用いた複素補間の応用。ここで $V$ は $K$ を $s$ だけ平行移動して得られる。
• $T(t)$ を $T(t) = \int_{\partial V} \psi(z)T(z)\mu(dz)$ として積分表示する。ここで $\psi$ は $V_0$ および $V_1$ で有界かつ有界な上界を持つ正則関数である。
• $\sup_{V_0}|\psi| \leq \varepsilon$ および $\sup_{V_1}|\psi| \leq \varepsilon^{(\theta-1)/\theta}$ を満たすような関数 $\psi$ の構成により、作用素ノルムでの近似が可能になる。
• 領域 $V$ と標準的な縦方向帯域との間の共形同値性を用いて、問題を既知の複素解析および補間理論の結果に還元すること。
• $T(t)$ が $L_p \to L_2$ 作用素のノルム閉包 $\overline{\Gamma_2}$ に属することを示す。具体的には $\|T(t) - T_1\| \leq C_0\varepsilon$ および $\|T_1: L_p \to L_2\| \leq C_1\varepsilon^{(\theta-1)/\theta}$ を示すことによって証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超合同的半群 $T(t)$ が $L_p$ 上に存在する場合（$1<p<2$）、作用素ノルムでヒルベルト空間を経由する作用素によって近似可能か？
• RQ2 ある $T(s)$ が $L_p$ を $L_2$ に写像するという事実から、すべての $t>0$ に対して $T(t)$ がそのような作用素のノルム閉包に属するか？
• RQ3 この結果は $L_p$ 空間を超えて、任意のバナッハ空間および互換性のあるノルムを持つ作用素イデアルへ一般化可能か？
• RQ4 半群が正則であるという事実から、$T(s) \in \Gamma$ を満たす $s>0$ が存在する場合、$T(t)$ が左イデアル $\Gamma$ の閉包に属するか？

主な発見

• 任意の $t>0$ に対して、$T(t)$ は $L_p \to L_2$ 作用素のノルム閉包 $\overline{\Gamma_2}$ に属する。これは、$T(t)$ がそのような作用素によって作用素ノルムで近似可能であることを意味する。
• 任意の $\varepsilon > 0$ に対して、$\|T(t) - T'\| \leq \varepsilon$ かつ $\|T': L_p \to L_2\| \leq c\varepsilon^d$ を満たす作用素 $T' \in B(L_p)$ が存在する。ここで $c,d > 0$ は定数である。
• この結果はすべての $1 < p < 2$ に対して成り立ち、$H^p$ 空間（$0 < p < 2$）へも拡張可能である。この場合、半群はコンパクト作用素であり、ヒルベルト空間に同型な部分空間はすべて有限次元である。
• 同様の議論は、カルレン＝リーブのフェルミオン的超合同的半群や、正則半群および互換性のある作用素イデアルを持つ他の設定に対しても適用可能である。
• 半群が正則であると仮定するだけで十分であり、解析性と無限遠での減衰性から、商写像 $QT(t)$ は恒等的にゼロである。
• もし $T(t)$ が $L_p$ の部分空間 $X \subset L_p$ に制限されたときに同型写像であるならば、$X$ はヒルベルト空間に同型であり、$L_p$ で補完可能である。これは、近似を介して有界な射影が存在するからである。