[論文レビュー] A remark on measures of sections of $L_p$-balls

Alexander Koldobsky, Alain Pajor|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2016

Point processes and geometric inequalities参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$ℝ^n$ 内の $L_p$-球の断片の測度について、任意の偶関数連続測度に関して鋭い上限を確立する。$L_p$-空間の部分空間に関する外側体積比推定と測度に関するスライcing不等式を組み合わせることで、$C$ を絶対定数として、$\mu(K) \leq (C\sqrt{p})^k \max_H \mu(K \cap H) \cdot |K|^{k/n}$ を示す。これはミルマンの結果を一般測度に拡張し、$p$ に関する依存性を $O(n^{1/2-1/p})$ から $O(\sqrt{p})$ に改善する。この結果は任意の $p>2$、$n \in \mathbb{N}$、$1 \leq k < n$ に対して成り立つ。主な貢献は、$p$ に関して次元に依存しない鋭い上限を、すべての such $L_p$-単位球と偶関数連続密度を持つ測度に対して得ることである。

ABSTRACT

We show that the slicing problem holds true for subspaces of $L_p,p&gt;2$ in the setting of arbitrary measures in place of volume. This generalizes a result of Milman for the original slicing problem.

研究の動機と目的

• ミルマンの $O(\sqrt{p})$ 結果（体積に関するスライcing問題）を $L_p$-球上の任意の偶関数連続測度に拡張すること。
• $L_p$-単位球に対して、絶対定数 $C$ が存在して $\mu(K) \leq C\sqrt{p} \max_\xi \mu(K \cap \xi^\perp) |K|^{1/n}$ が成り立つかどうかという未解決問題を解消すること。
• $k$-次元断片を用いて測度に関するスライcing不等式を高次元に一般化すること。
• $L_p$-単位球から $k$-交差体のクラスへの外側体積比距離が $O(\sqrt{p})$ で有界であることを確立すること。この有界性は次元に依存しない。

提案手法

• 文献 [K6] で確立されたように、測度スライcing問題を $k$-交差体のクラス $\mathcal{BP}_k^n$ への外側体積比距離に還元する。
• ミルマン [M1]（[DMT] も参照）のキーパラメータ推定を適用し、$n$ 次元の $L_p$-単位球から $\mathcal{BP}_k^n$ への外側体積比距離が $C\sqrt{p}$ 以下であることを示す。ここで $C$ は絶対定数である。
• ルイスの定理を用いて、$L_p$-単位球を、そのノルムが球面上の測度 $\nu$ に関する積分として表現できる位置に配置し、体積とノルムの推定を可能にする。
• 体積の極座標公式と球面ラドン変換を用いて、$L_p$-ノルムを表面積分に関連づけ、スターリングの近似を適用する。
• 外側体積比推定と [K6] の命題 1 を組み合わせることで、$K$ の測度とその $k$-余次元断片の最大測度との関係を導出する。
• フォビニの定理と、球面上の $|x_1|^p$ に関する既知の積分恒等式を用いて、$n$、$p$、$\nu$ を用いた $K$ の体積の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L_p$-単位球上のスライシング問題における $O(\sqrt{p})$ 結果を、体積から任意の偶関数連続測度に拡張できるか。
• RQ2 $L_p$-単位球から $k$-交差体のクラスへの外側体積比距離が、次元 $n$ に依存せず $p$ のみに依存する有界性を持つか。
• RQ3 $k$-余次元断片に関する一般化されたスライシング不等式は、$n$ に依存せず $p$ のみに依存する定数で成り立つか。
• RQ4 $L_p$-単位球に対して、測度スライシング不等式における $p$ 依存性を $O(n^{1/2-1/p})$ から $O(\sqrt{p})$ に改善できるか。
• RQ5 $L_p$-単位球と偶関数連続測度に対して、不等式 $\mu(K) \leq (C\sqrt{p})^k \max_H \mu(K \cap H) |K|^{k/n}$ の最適定数 $C$ は何か。

主な発見

• 本稿は、任意の $p > 2$、$n \in \mathbb{N}$、$1 \leq k < n$、および $L_p$-空間の $n$ 次元部分空間に対して、外側体積比距離が $C\sqrt{p}$ で有界であることを証明する。ここで $C$ は絶対定数である。
• この有界性は、任意の偶関数連続密度を持つ測度 $\mu$ に対して、$\mu(K) \leq (C\sqrt{p})^k \max_{H \in \mathrm{Gr}_{n-k}} \mu(K \cap H) \cdot |K|^{k/n}$ を意味する。ここで $C$ は $n$、$p$、$k$、$K$、$\mu$ に依存しない。
• この有界性は、以前の推定 $O(n^{1/2-1/p})$ よりも改善されており、ミルマンの元々の $L_p$-体積結果と一致する $p$ 依存性を達成している。
• この結果はすべての次元 $n$ に対して一様に成り立ち、定数 $C$ は絶対的であり、$n$、$p$、$k$、または特定の $L_p$-部分空間に依存しない。
• 証明はルイスの位置と球面上の $L_p$-ノルムに関する積分恒等式に依存し、スターリングの近似を用いて体積の下界を導出する。
• 著者らは、外側体積比推定が、既知の $O(\sqrt{p})$ 体積ケースと一致するため、鋭いものであると確認しており、一般測度への拡張を実現している。