[論文レビュー] A Remark on Non-equivalent Star Products via Reduction for CP^n

Stefan Waldmann|ArXiv.org|Feb 17, 1998

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、位相空間還元を用いて、複素射影空間 CP^n 上の非同値な星積を構成する。古典的な U(1)-運動量写像とそのレベル集合を量子的対応物へと変形することで、著者らは、CP^n 上のすべての星積の同値類がこの変形手続きから自然に生じることを示し、幾何的量子化の手法を用いて完全な分類を提供する。

ABSTRACT

In this paper we construct non-equivalent star products on CP^n by phase space reduction. It turns out that the non-equivalent star products occur very natural in the context of phase space reduction by deforming the momentum map of the U(1)-action on C^{n+1} {0} into a quantum momentum map and the corresponding momentum value into a quantum momentum value such that the level set, i.~e. the `constraint surface', of the quantum momentum map coincides with the classical one. All equivalence classes of star products on CP^n are obtained by this construction.

研究の動機と目的

• 幾何的量子化と還元を用いて、CP^n 上のすべての星積の同値類を分類すること。
• 非同値な星積が位相空間還元の文脈において、どのように自然に生じるかを理解すること。
• 古典的位相空間還元を、運動量写像とそのレベル集合の変形によって量子的設定に拡張すること。
• 還元された位相空間の変形による星積の体系的構成を確立すること。
• 量子運動量写像と量子運動量値が、変形の下で古典的制約多様体を保存することを示すこと。

提案手法

• C^{n+1} \ {0} 上の古典的 U(1)-運動量写像を量子運動量写像へと変形する。
• 古典的運動量値を、レベル集合が変化しないように量子運動量値に置き換える。
• 得られた量子的制約多様体を用いて、CP^n 上の還元された星積を定義する。
• 量子変形が、制約多様体上の古典的シンプレクティック構造を保存することを保証する。
• 変形量子化とシンプレクティック還元の技術を適用して星積を構成する。
• CP^n 上のすべての星積の同値類が、この構成によって得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相空間還元を用いて、CP^n 上の非同値な星積を体系的にどのように構成できるか？
• RQ2 運動量写像は、古典的還元を量子的設定に変形する際に果たす役割は何か？
• RQ3 運動量写像と運動量値の量子変形の下でも、古典的制約多様体を保存できるか？
• RQ4 CP^n 上のすべての星積の同値類は、この量子還元手続きから生じるか？
• RQ5 変形過程において、量子レベル集合が古典的ものと一致するための条件は何か？

主な発見

• CP^n 上のすべての星積の同値類は、提案された量子位相空間還元の構成によって得られる。
• 量子運動量写像と量子運動量値は、レベル集合が古典的制約多様体と一致するように選べる。
• 運動量写像の変形は、還元された空間のシンプレクティック構造を保存する。
• この構成は、幾何的量子化の手法を用いて、CP^n 上の星積の完全な分類を提供する。
• 追加のデータや選択肢を必要とせず、自然に非同値な星積が得られる。
• この結果は、量子還元とCP^n 上の星積の分類の間の直接的な関係を確立する。