[論文レビュー] A remark on our paper "Negative Holomorphic curvature and positive canonical bundle"

Damin Wu, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、数値的有効性に依存せずに、負のホロモルフィック断面曲率をもつコンact Kähler多様体上におけるKähler-Einstein計量の存在を示す新しい証明を提供する。さらに、擬負のホロモルフィック断面曲率が正の canonical バンドルを意味することを確立し、その予想を確認するとともに、YauとChengの推定および陰関数論を用いて、先行研究の結果を拡張する。

ABSTRACT

This is a continuation of our first paper in [WY16]. There are two purposes of this paper: One is to give a proof of the main result in [WY16] without going through the argument depending on numerical effectiveness. The other one is to provide a proof of our conjecture, mentioned in [TY], where the assumption of negative holomorphic sectional curvature is dropped to quasi-negative. We should note that a solution to our conjecture is also provided by Diverio-Trapani [DT]. Both proofs depend on our argument in [WY16]. But our argument here makes use of the argument given by the second author and Cheng in [CY75].

研究の動機と目的

• 【[WY16]の主要結果を数値的有効性に依存せずに別証明すること。
• 【[TY]の予想である、擬負のホロモルフィック断面曲率が canonical バンドルの正性を意味することを証明すること。
• 【ホロモルフィック断面曲率が非正で、ある一点で厳密に負である場合に、Kähler-Einstein計量の存在を拡張すること。
• 【積分的正性 $c_1(K_X)^n$ を用いて、擬負曲率のもとで canonical バンドルが非常に正であることを確立すること。
• 【YauとChengの推定および陰関数論を用いて、[WY16]の結果を統合・強化すること。

提案手法

• 【$t \in [0, t_1]$ に対して、Monge-Ampère型方程式 $(t\omega + dd^c \log \omega^n + dd^c u_t)^n = e^{u_t} \omega^n$ を用いる。
• 【線形化作用素 $\Delta_{t_0} - 1$ の可逆性により、陰関数定理を適用して解集合 $I$ の開性を示す。
• 【曲率推定および最大原理から得られる $u_t$ の一様 $C^{k+2,\alpha}$ 界を用いて、$I$ の閉性を確立する。
• 【曲率作用素のトレースを制御するための不等式 $\Delta' \log S \geq \left[ \frac{t}{n} + \frac{(n+1)\kappa}{2n} \right] S - 1$ を用いる。
• 【補題3（グローバル $L^2$-型指数積分性）および補題4（サブソリューションの勾配推定）を用いて、$t=0$ 近傍での $u_t$ を制御する。
• 【Lebesgueの優越収束定理およびH"olderの不等式を用いて、$\limsup_{t \to 0} \int_X \omega_t^n > 0$ を示し、$\int_X c_1(K_X)^n$ の正性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 【負のホロモルフィック断面曲率をもつ多様体上でのKähler-Einstein計量の存在は、数値的有効性に依存せずに証明可能か？
• RQ2 【擬負のホロモルフィック断面曲率は、canonical バンドルが正（すなわち $\int_X c_1(K_X)^n > 0$）であることを意味するか？
• RQ3 【代数幾何学に依存しない解析的手法により、[TY]の予想を確認できるか？
• RQ4 【擬負曲率のもとで、Monge-Ampère解 $u_t$ の $t \to 0$ における挙動はいかなるものか？
• RQ5 【曲率推定および $u_t$ の $L^p$ 界は、canonical バンドルの積分の正性をどのように保証するか？

主な発見

• 【Monge-Ampère方程式の解集合 $I$ は $[0, t_1]$ で開かつ閉であるため、$0 \in I$ であり、滑らかな解 $u_0$ が得られ、結果として負のリッチ曲率をもつKähler-Einstein計量が存在する。
• 【ホロモルフィック断面曲率が負である場合、負のリッチ曲率をもつKähler-Einstein計量の存在により、canonical バンドル $K_X$ は非常に正である。
• 【擬負のホロモルフィック断面曲率のもとで、$L^p$ 界および $\exp(u_t - \max u_t)$ の $L^1$ 収束を用いて、$\int_X c_1(K_X)^n > 0$ が示される。
• 【Lebesgueの優越収束定理およびH"olderの不等式を指数項に適用して、$\limsup_{t \to 0} \int_X \omega_t^n > 0$ が証明される。
• 【$t \in (0, t_1]$ に対して、$\|u_t\|_{C^{k+2,\alpha}} \leq C$ が $t$ に依存しない一様界をもつため、コンパクトネスおよび部分列の収束が保証される。
• 【結果として、擬負曲率が $K_X$ を非常に正にすることが確認され、Moishezonの定理により $X$ は射影的であることが示され、問題が射影的ケースに還元される。