[論文レビュー] A remark on quiver varieties andweyl groups

Andrea Maffei|ArXiv.org|Mar 25, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 44

ひとこと要約

本稿は、一般パラメータを用いた有限型のクイバーに対して、多様体の射影的環の生成子を用いて、Weyl群の作用を代数的・直接的に構成する。主な貢献は、Lusztigのホモロジー的構成を一般化する新しいねじれクイバー多様体間の同型写像の構成であり、$d-v$ が正則な重みであるとき、$M_0(d,v)$ の正規性と $M(d,v)$ の連結性を証明する。

ABSTRACT

In this paper we define an action of the Weyl group on the quiver varieties $M_{m,\grl}(d,v)$ with generic $(m,\grl)$. To do it we describe a set of generators of the projective ring of a quiver variety. We also prove connectness for the smooth quiver variety $M(d,v)$ and normality for $M_0(d,v)$ in the case of a quiver of finite type and $d-v$ a regular weight.

研究の動機と目的

• 解析的手法を避けて、クイバー多様体上のWeyl群作用を直接的・代数的に構成すること。
• クイバー多様体の射影的環の生成子を特定し、明示的な代数的操作を可能にすること。
• Lusztigのホモロジー的構成によるWeyl群表現を、より広いクラスのクイバー多様体へ一般化すること。
• $d-v$ が正則である有限型の場合に、$M_0(d,v)$ の正規性と $M(d,v)$ の連結性を証明すること。
• $d-v$ がドミナントである場合に還元可能な、$M_{0,0}(d,v)$ の幾何的性質の研究を簡略化すること。

提案手法

• Nakajimaの代数的構成を用いて、$M_{m,\lambda}(d,v)$ をコバリアント環の $\mathbf{Proj}$ として定義する。
• 特に特殊な場合において、クイバー多様体上のコバリアント関数の環の明示的生成子を構成する。
• これらの生成子を用いて、Weyl群の元 $\sigma$ に対して、$M_{m,\lambda}(d,v)$ と $M_{\sigma m,\sigma\lambda}(d,\sigma(v-d)+d)$ 間の同型写像 $\Phi_{\sigma}$ を定義する。
• Miglioriniの結果を活用して、クイバー多様体の代数的構成とハイパーカイリィ・ケーラー的構成を結びつける。
• $\mu^{-1}(0)$ のゼロファイバーの分割を、$V_i^+(s)$ の次元を用いて行い、特異点と次元の上限を分析する。
• Lusztigの公式による次元推定を用いて、$d-v$ が正則であるとき、$\text{codim}(\text{sing}) \geq 2$ であることを示し、正規性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クイバー多様体上のWeyl群作用は、インスタントンモジュライ空間や解析的幾何学に依存せずに代数的に構成可能か？
• RQ2 クイバー多様体の射影的環の完全な生成子集合は何か？ そして、それらはどのようにWeyl群の同型写像を定義するか？
• RQ3 どのような条件下でクイバー多様体 $M_0(d,v)$ は正規であり、$M(d,v)$ は連結か？
• RQ4 幾何学的性質 $M_{0,0}(d,v)$ は、$d-v$ のドミナント性と正則性にどのように依存するか？
• RQ5 $M_{0,0}(d,v)$ の研究は、$d-v$ がドミナントである場合に還元可能か？

主な発見

• 本稿は、任意の $\sigma$ に対して、$M_{m,\lambda}(d,v)$ と $M_{\sigma m,\sigma\lambda}(d,\sigma(v-d)+d)$ 間の明示的・代数的同型写像 $\Phi_{\sigma}$ を構成する。これは一般パラメータ $m,\lambda$ に対して有効である。
• クイバー多様体の射影的環は、明示的なコバリアント関数によって生成され、多様体の構造に対する代数的扱いを可能にする。
• $d-v$ が正則であるとき、$M_0(d,v)$ は正規かつ既約であり、$M(d,v)$ は連結である。これは特異点集合の余次元が2以上であるためである。
• $d-v$ がドミナントであるとき、$M_0(d,v)$ は完全交差である。これは滑らかさの稠密な部分多様体 $M_{m_+,0}(d,v)$ による。
• $\Phi_{\sigma}$ は、Lusztigのホモロジー的構成とは異なる、Weyl群作用の新しい代数的実現を提供する。
• 結果として、$M_{0,0}(d,v)$ の研究は、$d-v$ がドミナントである場合に還元可能となり、その幾何的性質の分析が簡略化される。