[論文レビュー] A remark on the $C_2$-cofiniteness condition on vertex algebras

Tomoyuki Arakawa|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、有限生成で非負整数順序付きの頂点代数について、$C_2$-cofinality 条件が Beilinson, Feigin, および Mazur が定義した lisse 条件と同値であることを確立する。この同値性は、関連する多様体と特異的補題の構成を介して証明され、$C_2$-cofinality が技術的アーティファクトではなく自然な有限性条件であることが示され、Virasoro およびアフィン頂点代数への応用を含む。

ABSTRACT

We show that a finitely strongly generated, non-negatively graded vertex algebra $V$ is $C_2$-cofinite if and only if it is lisse in the sense of Beilinson, Feigin and Mazur. This shows that the $C_2$-cofiniteness is indeed a natural finiteness condition.

研究の動機と目的

• 頂点代数における $C_2$-cofinality 条件の概念的意味を明確化すること。これは、多くの研究で技術的仮定として用いられてきた。
• Beilinson, Feigin, および Mazur が定義した lisse 条件と $C_2$-cofinality が同値であることを示し、それが自然な有限性条件としての役割を果たす根拠を提供すること。
• Li の標準的フィルトレーションを用いて、頂点代数への特異的補題と関連多様体の概念を拡張し、Lie 理論的フィルトレーションと比較可能にする。
• 特に Virasoro およびアフィン頂点代数の文脈において、$C_2$-cofinality と lisse 表現を統合する概念的枠組みを提供すること。

提案手法

• 頂点代数 $V$ の $M$-モジュールについて、$X_M$（関連多様体）を $V/C_2(V)$-モジュール $M/C_2(M)$ の台として定義する。
• Li の標準的フィルトレーションを用いて、$X_M$ の無限次ジャケットスキームの部分スキームとして $M$ の特異的補題 $SS(M)$ を定義する。
• $M$ が $C_2$-cofinal であることと、$X_M$ が 0 次元であることの同値性を証明する。このことは特異的補題が 0 次元であることを意味する。
• $\dim SS(M) = 0$ であることと、$M/C_2(M)$ が $R_V$ 上で有限次元であることの同値性を示し、$C_2$-cofinality と lisse 条件の同値性を確立する。
• この枠組みを Virasoro およびアフィン頂点代数に適用し、$C_2$-cofinality が可解的最高重量モジュールに対応することを示す。
• Gabber の定理（アービタントの根の可換性）を用いて、$\operatorname{gr}^{Lie}M$ 上での $L_{-1}$ および $L_{-2}$ の冪零性が $SS^{BFM}(M) = \{0\}$ を意味することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成で非負整数順序付きの頂点代数において、$C_2$-cofinality 条件は lisse 条件と同値か？
• RQ2 $C_2$-cofinality 条件は、関連多様体や特異的補題といった幾何的不変量を用いて、自然な有限性条件として解釈可能か？
• RQ3 特に Virasoro およびアフィン頂点代数の文脈において、Lie 理論的フィルトレーションと Li の標準的フィルトレーションはどのように比較可能か？
• RQ4 Virasoro 代数の最高重量モジュールが $C_2$-cofinal であるための条件は何か？ また、これは最小系列表現とどのように関係するか？
• RQ5 アフィン頂点代数上の既約モジュールの $C_2$-cofinality は、対応する $\widehat{\mathfrak{g}}$-モジュールの可解性と同値か？

主な発見

• 有限生成で非負整数順序付きの頂点代数 $V$ は、Beilinson, Feigin, および Mazur の意味での lisse であることと、$C_2$-cofinal であることと同値である。
• $C_2$-cofinality 条件は、関連多様体 $X_M$ が 0 次元であることと同値であり、これは特異的補題 $SS(M)$ が 0 次元であることと同値である。
• Virasoro 顶点代数において、最高重量モジュール $M$ が $C_2$-cofinal であることは、$SS^{BFM}(M) = \{0\}$ であることと同値であり、これは $M$ が最小系列表現であるときに限り成立する。
• アフィン頂点代数の場合は、$L(\lambda)$ が $C_2$-cofinal であることと、$\widehat{\mathfrak{g}}$ における可解表現であること、すなわち $\lambda$ が支配的整数ウェイトであることと同値である。
• 最高重量 $\mathcal{L}$-モジュール $M$ の特異的補題 $SS^{BFM}(M)$ が $\{0\}$ であることと、$L_{-1}$ および $L_{-2}$ が $\operatorname{gr}^{Lie}M$ 上で冪零であることと同値であり、これは $M/C_2(M)$ が $R_{Vir^c}$ 上で有限次元であることと同値である。
• 証明は、0 次元多様体のジャケットスキームが 0 次元であることを利用しており、これが $C_2$-cofinality と lisse 条件の同値性の根拠となっている。