[論文レビュー] A remark on the continuous subsolution problem for the complex Monge-Ampère equation

Sławomir Kołodziej, Ngoc Cuong Nguyen|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、擬凸下解の連続性モジュラスがDini型条件を満たす場合、複素Monge-Ampère方程式のDirichlet問題が連続解をもつことを確立する。主な貢献は、測度が容量に基づいて支配されている場合の解の鋭い連続性モジュラス推定値を導出し、Hölder連続下解を要件としていた従来の可解性結果を、より弱い連続性仮定へと拡張したことにある。

ABSTRACT

We prove that if the modulus of continuity of a plurisubharmonic subsolution satisfies a Dini type condition then the Dirichlet problem for the complex Monge-Ampère equation has the continuous solution. The modulus of continuity of the solution is also given if the right hand side is locally dominated by capacity.

研究の動機と目的

• 下解の連続性モジュラスがDini型条件を満たす場合に、複素Monge-Ampère方程式のDirichlet問題に連続解が存在することを確立すること。
• 従来のHölder連続下解を要件としていた可解性結果を、より弱い連続性仮定へと一般化すること。
• 局所的容量支配の下で、解の明示的連続性モジュラス推定値を導出すること。
• L^p密度またはHölder連続下解を要件としていた測度のクラスを超えて、Dirichlet問題の可解性を拡張すること。

提案手法

• 擬凸下解 $ \f $ の連続性モジュラス $ \varpi(t) $ に対してDini型条件を導入し、$ \textstyle\bigint_{0}^{1} \frac{[\varpi(t)]^{1/n}}{t|\text{log}\thinspace t|} dt < \text{infty} $ を要求する。
• 体積-容量不等式と修正版のAlexander-Taylor不等式を用いて、容量に基づいてMonge-Ampère測度を制御する。
• dyadic立方体を用いた被覆議論を適用し、問題を局所化し、解の変動を推定する。
• 関数 $ F_0 $ を用いた容量による一様局所的支配の概念を用い、$ F_0(x) = Cx $ や指数関数的形の既存結果を一般化する。
• Dini条件と容量に基づく測度の上限 $ \textstyle\text{supp}\thinspace\text{d}\thinspace\text{mu} \text{ in } \text{H}(\text{alpha},\text{Omega}) $ を組み合わせ、定量的な連続性モジュラス推定値を導出する。
• 相対的極値関数と準層集合の推定値を用いて、準層集合の容量を抑え、最終的な連続性推定値に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hölder連続性よりも弱い正則性仮定のもとで、複素Monge-Ampère方程式のDirichlet問題が可解であることが保証されるか？
• RQ2 測度が連続な擬凸上位関数のMonge-Ampère測度によって支配されている場合、解の最適な連続性モジュラスは何か？
• RQ3 解の連続性は、測度の容量支配と領域の幾何構造にどのように依存するか？
• RQ4 下解の連続性モジュラスにDini型条件を課すことで、連続解の存在が保証されるか？
• RQ5 解の変動は、境界からの距離と準層集合の容量に、どのように定量的に依存するか？

主な発見

• 連続な擬凸下解 $ \f $ の連続性モジュラス $ \textstyle\text{varpi}(t) $ が $ \textstyle\bigint_{0}^{1} \frac{[\text{varpi}(t)]^{1/n}}{t|\text{log}\thinspace t|} dt < \text{infty} $ を満たす場合、Dirichlet問題は一意な連続解をもつ。
• 測度 $ \textstyle\text{mu} \text{ in } \text{H}(\text{alpha},\text{Omega}) $ が関数 $ F_0 $ を用いて一様局所的容量支配を満たす場合、解 $ u $ は次の連続性モジュラス推定値を満たす：$ \textstyle\text{varpi}(\text{delta};u,\text{Omega}) \text{leq} \text{varpi}(\text{delta};\text{psi},\text{partial}\text{Omega}) + C\big[\text{log}(R_0/\text{delta})^{-1/2} + F_0\big(C_0/[\text{log}(R_0/\text{delta})]^{1/2}\big)\big]^{\text{alpha}_1} $。
• 推定値に現れる定数 $ C $ と $ \text{alpha}_1 $ は、$ \text{alpha}, \text{mu}, \text{ and } \text{Omega} $ のみに依存し、解や境界データには依存しない。
• 従来のHölder連続下解を要件としていた結果を改善し、Dini型連続性モジュラスがあれば十分であることを示した。
• 証明は、修正版のAlexander-Taylor不等式による洗練された容量推定値と、dyadic立方体を用いた被覆議論に依拠している。
• 本稿では、Dini連続性モジュラスをもつ連続下解が可解性を保証することを確立し、分野における未解決問題の一部を解決した。