[論文レビュー] A remark on the enclosure method for a body with an unknown homogeneous background conductivity

Masaru Ikehata|ArXiv.org|Nov 6, 2007

Electrical and Bioimpedance Tomography参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、領域が楕円形であり、境界電圧が非ゼロのフーリエ係数を持つバンド制限である限り、背景導電率が未知である場合でも、エンクロージャー法が2次元電気インピーダンストモグラフィーにおいて未知の空洞や不純物の位置情報を抽出できることを示している。この方法は、境界測定から導出された指標関数の漸近的解析に依存し、不純物のサポート関数を推定する。

ABSTRACT

Previous applications of the enclosure method with a finite set of observation data to a mathematical model of electrical impedance tomography are based on the assumption that the conductivity of the background body is homogeneous and known. This paper considers the case when the conductivity is homogeneous and unknown. It is shown that, in two dimensions if the domain occupied by the background body is enclosed by an ellipse, then it is still possible to extract some information about the location of unknown cavities or inclusions embedded in the body without knowing the background conductivity provided the Fourier series expansion of the voltage on the boundary does not contain high frequency parts (band limited) and satisfies a non vanishing condition of a quantity involving the Fourier coefficients.

研究の動機と目的

• 背景導電率が未知である場合にエンクロージャー法が不純物の情報を抽出できるかどうかを調査すること。これは、標準的な仮定である既知の導電率の仮定に挑戦する。
• 背景導電率に不確実性がある場合でも、指標関数の漸近的挙動が情報を持つために必要な幾何的および解析的条件を同定すること。
• 導電率の事前知識がなくとも、境界電圧および電流データのみを用いて不純物の凸包を再構成する理論的枠組みを確立すること。
• 導電率が既知の場合と比較して、導電率が未知である場合におけるこの手法の限界および情報量の低下を特定すること。

提案手法

• 形が $ e^{\tau x \bullet (\omega + i\omega^{\bot})} $ であるラプラス方程式の指数関数的増大解を用いて、不純物の位置に敏感な指標関数を構築する。
• 指標関数 $ I_{\omega,\omega^{\perp}}(\tau,t) = e^{-\tau t} \int_{\partial\Omega} \left( -\gamma \frac{\partial}{\partial\nu} e^{\tau x \cdot (\omega + i\omega^{\perp})} u + \gamma \frac{\partial u}{\partial\nu} e^{\tau x \cdot (\omega + i\omega^{\perp})} \right) ds $ を定義する。ここで $ \gamma $ は未知の背景導電率である。
• 指標関数に対して $ \tau \to \infty $ の漸近的解析を適用し、その対数的成長率が不純物のサポート関数 $ h_D(\omega) $ を与えることを示す。
• 先行研究の鍵となる補題に依存し、$ \lambda > 1/2 $ に対して $ \left| \int_{\partial D} u \frac{\partial v}{\partial\nu} ds \right| \sim \frac{B}{\tau^{\lambda}} e^{\tau h_D(\omega)} $ が成り立つことにより、不純物の幾何的性質と指標関数の挙動が関連づけられる。
• 楕円形領域では、境界電圧のフーリエ展開がバンド制限であり、非ゼロ条件を満たすことで、指標関数の漸近的挙動が検出可能であることが保証されることを用いる。
• 未知の $ \gamma $ に対しても、$ \lim_{\tau \to \infty} \frac{1}{\tau} \log \left| \int_{\partial\Omega} \left( \gamma \frac{\partial u}{\partial\nu} v - \gamma \frac{\partial v}{\partial\nu} u \right) ds \right| = h_D(\omega) $ が、上記の条件下で成り立つことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 背景導電率が未知である場合でも、エンクロージャー法は不純物の位置に関する情報を抽出できるか？
• RQ2 指標関数が未知導電率下でもその漸近的挙動を保つために、領域および境界データに必要な幾何的・スペクトル的条件は何か？
• RQ3 背景導電率が不明である場合、導電率が既知の場合と比較して、エンクロージャー法の情報量にどのような影響が生じるか？
• RQ4 導電率が未知である場合でも、境界電圧および電流測定値のみを用いて不純物のサポート関数を回復できるか？
• RQ5 領域の楕円性が、導電率を知らずとも手法が機能可能であるようにする役割は何か？

主な発見

• 領域が楕円形であれば、背景導電率が未知であっても、エンクロージャー法は2次元における不純物の位置特定に有効である。
• 背景導電率 $ \gamma $ が未知であっても、$ \tau \to \infty $ における指標関数の漸近的挙動は依然として不純物のサポート関数 $ h_D(\omega) $ を与え、$ \lim_{\tau \to \infty} \frac{1}{\tau} \log |I_{\omega,\omega^{\perp}}(\tau,0)| = h_D(\omega) $ を満たす。
• 境界電圧がバンド制限であり、フーリエ係数に非ゼロ条件を満たすことが必要であり、これにより指標関数の漸近的挙動がゼロに収束しないことが保証される。
• 領域の楕円形状が極めて重要である。これは、対称性や退化による失敗を防ぐ幾何的障害を提供し、不純物の位置の回復を可能にする。
• 導電率が未知の場合、導電率が既知の場合に比べて情報量が減少する。これは、完全な指標関数を再構成できないためである。
• 不純物が多角形であり、$ \text{diam}(D) < \text{dist}(D, \partial\Omega) $ を満たす限り、方向 $ \omega $ の正規性が保証され、結果が安定する。