[論文レビュー] A remark on the extreme value theory for continued fractions

Lulu Fang, Kunkun Song|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、(0,1) 内の実数の集合のハウスドルフ次元を調査している。ここで、連分数の部分商の最大値 Tₙ(x) を二重指数関数 φ(n) = c^{b^{n^α}} で正規化したとき、その極限が定数 β に収束する。カントール型構成と区間解析を用いて、成長率 α が 1 を超えると次元が 1/2 から 0 へ減少することを示し、その正確な値は α と b に依存する。これは連分数における極値理論の空白を解消する。

ABSTRACT

Let $x$ be a irrational number in the unit interval and denote by its continued fraction expansion $[a_1(x), a_2(x), \cdots, a_n(x), \cdots]$. For any $n \geq 1$, write $T_n(x) = \max_{1 \leq k \leq n}\{a_k(x)\}$. We are interested in the Hausdorff dimension of the fractal set \[ E_ϕ= \left\{x \in (0,1): \lim_{n o \infty} \frac{T_n(x)}{ϕ(n)} =1 ight\}, \] where $ϕ$ is a positive function defined on $\mathbb{N}$ with $ϕ(n) o \infty$ as $n o \infty$. Some partial results have been obtained by Wu and Xu, Liao and Rams, and Ma. In the present paper, we further study this topic when $ϕ(n)$ tends to infinity with a doubly exponential rate as $n$ goes to infinity.

研究の動機と目的

• Tₙ(x) が x の最初の n 個の部分商の最大値であるとき、E_φ = {x ∈ (0,1) : limₙ→∞ Tₙ(x)/φ(n) = 1} のハウスドルフ次元を特定すること。
• φ(n) の多項式的および単一指数関数的成長率に関する先行研究を、φ(n) = c^{b^{n^α}} という二重指数関数的成長率のケースに拡張すること。
• 単一指数関数的成長率における臨界点 α = 1/2 でのハウスドルフ次元の未解決問題を解消し、高階の成長率へ拡張すること。
• 二重指数関数 φ(n) = c^{b^{n^α}} におけるパラメータ b, c > 1 および α > 0 が E_φ のハウスドルフ次元に与える依存関係を分析すること。

提案手法

• N ≥ N に対して、m_n = ⌊c^{b^{n^α}}/n⌋ + 1 で下から有界な部分商を持つ連分数展開に対応するカントール型集合 F_N(b,c,α,β) を構成すること。
• ガウス測度とシリンダーセット理論を用いて、区間の長さとそのギャップを推定し、異なる n 階層の区間同士の分離を保証すること。
• 連分数近似理論から導かれる、異なる n 階層の区間間の最小距離を ε_n ≥ 1/(8 ∏_{k=1}^n (τ_k + 1))^2 で上から抑えるギャップ条件を適用すること。
• 質量転送原理と区間被覆技術を用いて、liminf 公式：dim_H E ≥ liminfₙ→∞ log(m₁⋯mₙ) / (−log(m_{n+1}ε_{n+1})) を用いてハウスドルフ次元の下界を導出すること。
• 和 ∑_{k=1}^n b^{k^α} の漸近的挙動を分析し、成長率 α に基づく次元を特定する。α ∈ (0,1)、α = 1、α > 1 の場合を区別すること。
• 下界と上界を一致させることで、二重指数関数的正規化下での集合 E_φ の正確なハウスドルフ次元を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 φ(n) = c^{b^{n^α}} で、b, c > 1 かつ β > 0 のとき、最初の n 個の部分商の最大値 Tₙ(x) を二重指数関数 c^{b^{n^α}} で正規化したとき、その極限が正の定数 β に収束する (0,1) 内の実数の集合のハウスドルフ次元は何か？
• RQ2 二重指数関数 c^{b^{n^α}} の指数 α が変化するとき、この集合のハウスドルフ次元はどのように変化するか？
• RQ3 φ(n) の成長率が単一指数関数的成長率を超える場合、特に転移点 α = 1 において次元はどのように変化するか？
• RQ4 この次元は二重指数関数の底 b に依存するか？もしそうなら、その依存関係はどのようなものか？
• RQ5 二重指数関数的領域において、次元の下界と上界を鋭い推定で与えることは可能か？

主な発見

• b, c > 1 かつ β > 0 で φ(n) = c^{b^{n^α}} のとき、0 < α < 1 では E_φ のハウスドルフ次元は正確に 1/2 に等しい。
• α = 1 のとき、E_φ のハウスドルフ次元は 1/(b+1) に等しく、二重指数関数の底 b に明示的な依存関係を示す。
• α > 1 のとき、E_φ のハウスドルフ次元は 0 へ減少し、このような集合は (0,1) 内でますます疎らになることを示している。
• 次元の下界は、和 ∑_{k=1}^n b^{k^α} の漸近的成長から導かれる。この比が極限を決定づける。
• α = 1 における次元の段階的転移が確認され、この点で挙動が 1/2 から b に依存する減少関数に変わる。
• 解析により、α = 1 のとき、次元は二重指数関数の内側の指数部分の底 b に支配され、フラクタルの複雑性を制御する役割を果たすことが確認された。