[論文レビュー] A Remark on the Omori-Yau Maximum Principle

Albert Borbély|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 2被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、完全なリーマン多様体がオモリ・ヤウ最大値原理を満たすための条件を精緻化し、径方向ラプラシアンが関数 $ G(r) $ により上から有界であり、$ G \geq 1 $、$ G' \geq 0 $、および $ \int_0^\infty dt/G(t) = \infty $ を満たす場合に原理が成り立つことを示している。この条件は、積分が収束する場合に反例を構成することで最適性が示されている。

ABSTRACT

A Riemannian manifold $M$ is said to satisfy the Omori-Yau maximum principle if for any $C^2$ bounded function $g:M o \Bbb R$ there is a sequence $x_n\in M$, such that $\lim_{n o \infty}g(x_n)=\sup_M g$, $ \lim_{n o \infty}| abla g(x_n)|=0$ and $\limsup_{n o \infty}Δg(x_n)\leq 0$. It is shown that if the Ricci curvature does not approach $-\infty $ too fast the manifold satisfies the Omori-Yau maximum principle. This improves earlier necessary conditions. The given condition is quite optimal.

研究の動機と目的

• 完全なリーマン多様体がオモリ・ヤウ最大値原理を満たすための必要条件を改善すること。
• Ratto-Rigoli-Setti の以前の結果に見られる不要な技術的仮定（例えば、奇数階微分が消えることや、上極限条件）を排除すること。
• 積分 $ \int_0^\infty dt/G(t) = \infty $ が最適であることを、積分が有限の場合に反例を構成することで示すこと。
• ラプラシアンの距離関数の成長を制御する関数 $ G(t) $ のみに依存する洗練された最適な基準を提示すること。

提案手法

• 関数 $ F(t) = \exp\left(\int_0^t \frac{1}{G(s)}\,ds\right) $ を定義し、これは厳密に増加し、$ t \to \infty $ のとき無限大に発散する。
• 比較関数 $ h_\lambda(x) = \lambda F(r(x)) + L - \epsilon $ を構成する。ここで $ L = \sup_M g $ である。この関数を用いて、下位集合を通じて最大値原理をテストする。
• すべての点で $ h_\lambda > g $ となるパrameter $ \lambda $ の下界 $ \lambda_0 $ を用いて、$ h_{\lambda_0}(x_\epsilon) = g(x_\epsilon) $ を満たす点 $ x_\epsilon $ を特定する。
• 標準的な議論により、接触点 $ x_\epsilon $ における $ h_{\lambda_0} $ の滑らかさを確立する。
• 境界 $ F' = F/G $、$ F'' \leq F/G^2 $、および $ \Delta r \leq G(r) $ を用いて、$ \Delta h_{\lambda_0} $ の推定を行う。
• 積分 $ \int_0^\infty dt/G(t) < \infty $ の場合に反例を構成する。関数 $ H $ を $ H \geq 1/2 $、$ H' \leq H^2 $、$ \int dt/H(t) < \infty $ を満たすように定義し、$ \Delta h > 1 $ となるようにすることで、最大値原理に反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Ratto-Rigoli-Setti の定理に含まれる $ G(t) $ に関する技術的仮定を弱めることが可能か？
• RQ2 オモリ・ヤウ最大値原理が成り立つための条件 $ \int_0^\infty dt/G(t) = \infty $ は最適か？
• RQ3 積分 $ \int_0^\infty dt/G(t) < \infty $ であっても、$ \Delta r \leq G(r) $ を満たす場合、オモリ・ヤウ最大値原理はどのように振る舞うか？
• RQ4 $ G \geq 1 $、$ G' \geq 0 $、$ \int dt/G(t) < \infty $ を満たすとき、$ H \geq 1/2 $、$ H' \leq H^2 $、$ 2H \leq G $、$ \int dt/H(t) < \infty $ を満たす関数 $ H $ を構成できるか？
• RQ5 新しい基準における奇数階微分および上極限条件の欠如が、最大値原理の妥当性に影響を与えるか？

主な発見

• 完全なリーマン多様体上でオモリ・ヤウ最大値原理が成り立つのは、$ r(x) > 1 $ に対して $ \Delta r(x) \leq G(r(x)) $ が成り立ち、$ G \geq 1 $、$ G' \geq 0 $、および $ \int_0^\infty dt/G(t) = \infty $ を満たす場合に限る。
• 条件 $ \int_0^\infty dt/G(t) = \infty $ は最適である。この積分が有限の場合、原理が成り立たない多様体が存在する。
• 反例の構成は、$ H \geq 1/2 $、$ H' \leq H^2 $、$ 2H \leq G $、$ \int dt/H(t) < \infty $ を満たす関数 $ H $ を定義することに依存しており、これは $ \int dt/G(t) < \infty $ のときにのみ可能である。
• 補題の証明では、$ G/2 $ を $ G $ が速く成長する区間で修正し、$ H' = H^2 $ を満たす関数 $ 1/(a_n - t) $ に置き換えることで $ H $ を構成する。
• $ \sum_n (a_n - t_n)^2 - (a_n - v_n)^2 $ は $ (2/G(t_1))^2 $ で有界であり、これにより $ \int_B dt/H(t) < \infty $ が保証され、$ 1/H $ の積分可能性が確認される。
• Ratto-Rigoli-Setti の定理は、$ d^{2k+1}/dt^{2k+1} \sqrt{G}(0) = 0 $ および $ \limsup_{t\to\infty} t\sqrt{G(\sqrt{t})}/\sqrt{G(t)} < \infty $ という条件を排除することで改善されており、これらは不要であることが示された。