[論文レビュー] A Remark on the Projective Geometry of Constant Curvature Spaces

Athanase Papadopoulos, Sumio Yamada|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2012

Advanced Differential Geometry Research参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Minkowski空間 ℝⁿ,¹ に埋め込むことで、一定曲率空間（ユークリッド、球面、双曲）を統一的な射影的幾何的枠組みで扱う。それぞれの幾何に特化した交比を定義し、上半球面（球面）および双曲空間からユークリッド平面への射影写像が交比を保存することを証明。これにより、球面的および双曲的幾何における測地線球体にヒルベルト計量を備えた、双曲空間を等長に実現する一般化されたベルトラミ＝クラインモデルが導入される。

ABSTRACT

We highlight the relation between the projective geometries of $n$-dimensional Euclidean, spherical and hyperbolic spaces through the projective models of these spaces in the $n+1$-dimensional Minkowski space, using a cross ratio notion which is proper to each of the three geometries.

研究の動機と目的

• 一定曲率空間（ユークリッド、球面、双曲）の射影的幾何を、Minkowski空間における共通の枠組みで統一すること。
• 各幾何に特化した交比を定義し、射影変換のもとで不変性を保つこと。
• 上半球面および双曲空間からユークリッド平面への射影写像が交比を保存することを確立し、それらが射影的写像（パースペクティビティ）として機能することを示すこと。
• 球面的および双曲的幾何における測地線球体にヒルベルト計量を備えた、双曲空間の一般化されたベルトラミ＝クラインモデルを導入すること。
• 双曲空間と球面的または双曲的ヒルベルト計量を備えた測地線球体との等長性を示すこと。

提案手法

• 三つの異なる交比を定義する：ユークリッド（距離の比）、球面（距離の正弦の比）、双曲（距離の双曲正弦の比）。
• 球面の射影的モデルとして、ℝⁿ,¹ における上半球面を用い、平面 {xₙ₊₁ = 1} への径向射影を実行する。
• 双曲空間の射影的モデルとして、Minkowski空間 ℝⁿ,¹ における単位双曲面の上半シートを用い、平面 {xₙ₊₁ = 1} への径向射影を実行する。
• 三角関数および双曲関数の恒等式を用いて、球面的・双曲的距離を平面におけるユークリッド距離に結びつけることで、径向射影が交比を保存することを証明する。
• 測地線球体における球面的および双曲的ヒルベルト計量を、四重組 (x, y, b(x,y), b(y,x)) のそれぞれの交比の対数として定義する。
• 射影写像が測地線球体上のヒルベルト計量と標準的な双曲計量との間で等長写像であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、Minkowski空間における共通のモデルを通じて、ユークリッド、球面、双曲空間の射影的幾何を統一できるか？
• RQ2 三つの一定曲率幾何における適切な交比の定義は何か？また、射影変換のもとでどのように振る舞うか？
• RQ3 上半球面および双曲空間からユークリッド平面への径向射影が交比を保存することを示せるか？これにより、射影的写像（パースペクティビティ）として機能するか？
• RQ4 測地線球体に定義された球面的および双曲的ヒルベルト計量は、双曲空間と等長であるか？
• RQ5 これらのヒルベルト計量を用いて、曲がった測地線球体上で双曲空間の一般化されたベルトラミ＝クラインモデルを構成できるか？

主な発見

• Sⁿ の上半球面から平面 {xₙ₊₁ = 1} への径向射影は、球面的交比を保存するため、パースペクティビティである。
• ℍⁿ の双曲空間から同じ平面 {xₙ₊₁ = 1} への径向射影は、双曲的交比を保存するため、パースペクティビティである。
• Sⁿ 内の半径 ρ ≤ π/2 の測地線球体 Bₛᵨ に定義された球面的ヒルベルト計量 Hₛᵨ は、双曲空間 ℍⁿ と等長である。
• ℍⁿ 内の測地線球体 Bₕᵨ に定義された双曲的ヒルベルト計量 Hₕᵨ は、双曲空間 ℍⁿ と等長である。これにより、一般化されたベルトラミ＝クラインモデルが確認された。
• 射影写像 Pₛ および Pₕ は、測地線球体上のヒルベルト計量と、ℍⁿ 上の標準的双曲計量との間で等長写像である。
• 本構成により、球面的および双曲的ヒルベルト計量を備えた測地線球体に基づく、双曲空間の新たな一般化されたベルトラミ＝クラインモデルが得られた。