[論文レビュー] A remark on the rigidity case of the positive energy theorem

Marc Nardmann|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、正エネルギー定理の剛性ケースにおいて、漸近的に平坦な時空的超曲面がその上でのリーマン曲率を零とすると、その超曲面は $\mathbb{R}^n$ に微分同相であり、ミンコフスキー時空への等長埋め込みを $\mathbb{R}^n$ 上のグラフとして持つことを示す、スピン構造に依存しない新しい証明を与える。この証明は、超曲面の普遍被覆とレベル集合の位相的性質を用いて微分同相性と等長埋め込みを確立するが、Schoen-Yauの元来の幾何的構成に依存しない。

ABSTRACT

In their proof of the positive energy theorem, Schoen and Yau showed that every asymptotically flat spacelike hypersurface M of a Lorentzian manifold which is flat along M can be isometrically imbedded with its given second fundamental form into Minkowski spacetime as the graph of a function from R^n to R; in particular, M is diffeomorphic to R^n. In this short note, we give an alternative proof of this fact. The argument generalises to the asymptotically hyperbolic case, works in every dimension n, and does not need a spin structure.

研究の動機と目的

• 正エネルギー定理の剛性ケースに対する代替的で、スピン構造に依存しない証明を提供すること。
• 時空的超曲面がその上でのリーマン曲率を零としている場合、その超曲面が $\mathbb{R}^n$ に微分同相であることを示すこと。
• 最小限の仮定の下で、ミンコフスキー時空への等長埋め込みが $\mathbb{R}^n$ 上のグラフとして存在することを確立すること。
• 次元制限なしに、結果を漸近的に双曲的ケースに一般化すること。

提案手法

• 超曲面 $M$ の普遍被覆空間 $\tilde{M}$ を用い、リーマン計量 $g$、正規バンドル $N$、第二基本形式 $K$ を上に引き上げる。
• 超曲面理論の基本定理を適用し、上に引き上げたデータ $(\widetilde{M},\widetilde{g},\widetilde{N},\widetilde{K})$ を曲率 $c \leq 0$ の一定のミンコフスキーまたは反de Sitter時空への等長埋め込みを構成する。
• レベル集合と連結成分に関する位相的議論を用いて、${\rm pr} \circ f: \widetilde{M} \to \mathbb{R}^n$ が微分同相であることを証明する。
• 被覆写像 $\pi: \widetilde{M} \to M$ が1枚のシートの被覆（したがって微分同相）であることを、${\rm pr} \circ f$ による $\pi^{-1}(Z)$ の像が連結かつコンパクトであることに基づいて示す。
• 目標時空の等長変換に関して一意な等長埋め込みの性質を活用し、埋め込みが本質的に一意であることを保証する。
• 位相的補題（補題5.1）を適用し、$M$ のコンパクトな境界付き部分多様体 $Z \subset M$ の射影による逆像が連結かつコンパクトであることを示し、被覆写像が微分同相であることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正エネルギー定理の剛性ケースは、スピン構造や次元制限を仮定せずに証明可能か？
• RQ2 時空的超曲面がその上でのリーマン曲率を零としている場合、どのような条件下でミンコフスキー時空への等長埋め込みが $\mathbb{R}^n$ 上のグラフとして存在するか？
• RQ3 一定曲率の周囲時空に対してガウス方程式とコーダッチ方程式が満たされるとき、超曲面 $M$ が $\mathbb{R}^n$ に微分同相であることは、それらの方程式の直接的帰結か？
• RQ4 ミンコフスキーまたは反de Sitter時空への等長埋め込みが1つ存在する場合、その超曲面が $\mathbb{R}^n$ に微分同相であることを示せるか？
• RQ5 時空 $\mathbb{R}^n$ から $M$ への被覆写像が微分同相であることを保証する位相的条件は何か？

主な発見

• 周囲時空が一定曲率 $c \leq 0$ であり、$M$ に沿ってガウス方程式とコーダッチ方程式が満たされるとき、超曲面 $M$ は $\mathbb{R}^n$ に微分同相である。
• 超曲面データセットはミンコフスキー時空 $\mathbb{R}^{n,1}$ に等長埋め込みが存在し、その埋め込みは目標空間の等長変換を除いて一意である。
• 埋め込みの空間的因子 $\mathbb{R}^n$ への射影は、普遍被覆 $\widetilde{M}$ から $\mathbb{R}^n$ への微分同相である。
• 被覆写像 $\pi: \widetilde{M} \to M$ は微分同相であるため、$M$ 自身も $\mathbb{R}^n$ に微分同相である。
• この結果はすべての次元 $n \geq 3$ で成り立ち、スピン構造を仮定せず、漸近的に双曲的ケースへも拡張可能である。
• 証明により、超曲面は $\mathbb{R}^{n,1}$ 内で $\mathbb{R}^n$ 上のグラフとして等長埋め込まれており、これはその全体的な位相が $\mathbb{R}^n$ であることを示唆する。