[論文レビュー] A remark on the simple cuspidal representations of GL(n, F)

Peng Xu|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$(n,p) = 1$ の条件下で、非アーチメデス的局所体 $F$ における $ {GL}(n,F)$ の単純尖域表現 $\pi$ が、$F^\times$ のすべての非分岐キャラクター $\chi$ によるそのねじれ $\chi\pi$ の局所 $\varepsilon$-因子によって、同型を除いて一意に決定されることを証明する。この結果は、正規化レベル $\frac{1}{n}$ の単純尖域表現に対するジャケュの局所逆定理の特殊ケースを確認するものであり、適切な対の構造とガウス和による局所定数の明示的計算を用いている。

ABSTRACT

Let $F$ be a non-archimedean local field of residue characteristic $p$, $G$ be the group $GL(n, F)$. In this note, under the assumption $(n, p)=1$, we show a simple cuspidal representation $π$ (that with normalized level $\frac{1}{n}$) of $G$ is determined uniquely up to isomorphism by the local constants of $χ\circ ext{det}\otimes π$ for all characters $χ$ of $F^ imes$.

研究の動機と目的

• $(n,p)=1$ の弱さ条件の下で、$\r{GL}(n,F)$ の単純尖域表現の局所 $\varepsilon$-因子を用いた一意性基準を確立すること。
• 正規化レベル $\frac{1}{n}$ の表現に対するジャケュの局所逆定理の特殊ケースを検証すること。
• 単純尖域表現の同型類が、$F^\times$ のすべてのキャラクター $\chi$ によるそのねじれ $\chi\pi$ の $\varepsilon$-因子によって決定されることを示すこと。
• ガウス和を用いて、キャラクター $\theta$ と加法的キャラクター $\psi$ の言いかえで、$s=\frac{1}{2}$ における $\varepsilon$-因子の明示的公式を提供すること。

提案手法

• $\mathrm{GL}(n,F)$ の本質的に弱い尖域表現の分類を、$E/F$ を次数 $n$ の完全に分岐する拡大とする適切な対 $(E/F, \theta)$ を用いて行う。
• $\varepsilon$-因子の公式 $\varepsilon(\pi_{E,\theta}, \frac{1}{2}, \psi) = \theta(\alpha)^{-1} \psi_{E/F}(\alpha)$ を適用する。ここで $\alpha$ は、$x \in \mathfrak{p}_E^{k+1}$ に対して $\theta(1+x) = \psi_{E/F}(\alpha x)$ を満たすように選ぶ。
• 関数方程式とガウス和の性質を用いて、$\chi\pi$ の $\varepsilon$-因子の比較に問題を還元する。
• $\pi$ がレベル $\frac{1}{n}$ の単純尖域表現であるとき、弱さ条件の下で $\varepsilon(\chi\pi, s, \psi) = \varepsilon(\chi, s, \psi)^n$ が成り立つことを利用する。
• $\pi_{E,\theta}$ の構成における中心型の構造とガウス和の振る舞いに着目し、特に $\varepsilon(\pi, \frac{1}{2}, \psi) = (\mathfrak{A} : \mathfrak{P}^{1+l(\Lambda)})^{-1/2} \tau(\Lambda, \psi)$ という公式を用いる。
• $m > 2l(\pi)$ のとき、$\chi\pi$ は中心型 $\chi\Lambda$ を持ち、そのガウス和が $\omega_\pi(c)^{-1} \varepsilon(\chi, s, \psi)$ に単純化されることを活用し、主要な恒等式を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーチメデス的局所体 $F$ における $\mathrm{GL}(n,F)$ の単純尖域表現の同型類は、$F^\times$ のすべてのキャラクター $\chi$ によるねじれ $\chi\pi$ の $\varepsilon$-因子によって一意に決定可能か？
• RQ2 $(n,p) = 1$ の条件下で、正規化レベル $\frac{1}{n}$ の単純尖域表現に対する局所逆定理は成立するか？
• RQ3 適切な対 $(E/F, \theta)$ から得られる単純尖域表現の $s = \frac{1}{2}$ における $\varepsilon$-因子の明示的公式は何か？
• RQ4 単純尖域表現 $\pi$ と高さ分岐なキャラクター $\chi$ に対して、$\chi\pi$ の $\varepsilon$-因子はどのように振る舞うか？

主な発見

• $(n,p) = 1$ の仮定の下で、$\mathrm{GL}(n,F)$ の二つの単純尖域表現 $\pi_1$ と $\pi_2$ が、$F^\times$ のすべてのキャラクター $\chi$ とすべての $s \in \mathbb{C}$ に対して $\varepsilon(\chi\pi_i, s, \psi)$ が一致するならば、それらは同型である。
• 単純尖域表現 $\pi_{E,\theta}$ の $s = \frac{1}{2}$ における $\varepsilon$-因子は、$\varepsilon(\pi_{E,\theta}, \frac{1}{2}, \psi) = \theta(\alpha)^{-1} \psi_{E/F}(\alpha)$ で与えられる。ここで $\alpha$ は、$x \in \mathfrak{p}_E^{k+1}$ に対して $\theta(1+x) = \psi_{E/F}(\alpha x)$ を満たす。
• レベル $\frac{1}{n}$ の単純尖域表現 $\pi$ に対して、$\chi\pi$ の $\varepsilon$-因子は $\varepsilon(\chi\pi, s, \psi) = \varepsilon(\chi, s, \psi)^n$ を満たす。これは一意性の議論において重要な役割を果たす。
• $\pi_{E,\theta}$ の中心キャラクターは $\theta|_{F^\times}$ であり、ねじれ $\chi \cdot \pi_{E,\theta}$ は $\pi_{E, \chi_E \cdot \theta}$ に同型である。ここで $\chi_E = \chi \circ N_{E/F}$ である。
• 証明により、$\varepsilon$-因子の条件が、$\pi_1$ と $\pi_2$ が同じ体拡大 $E/F$ と同一のキャラクター $\theta$ から生じることを強制することが示された。
• 弱さ条件 $(n,p) = 1$ は現在の証明において不可欠であるが、著者はこの結果がそれなしでも成り立つと予想している。