[論文レビュー] A Remark on Two Extensions of the Disc Algebra and Mergelyan's Theorem

Vassili Nestoridis, Ioannis Papadoperakis|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2011

Meromorphic and Entire Functions参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、複素平面の別のコンパactificationと、弦的距離 χ を用いた閉ジュリアン領域上の一様近似へ、メルゲリャンの定理を拡張する。関数のクラス $χ$-一様極限としての多項式近似が、一般化された円盤代数拡張と一致することを証明しており、境界挙動が球面的または調和的無限型である関数を含む。

ABSTRACT

We investigate the set of uniform limits of polynomials on any closed Jordan domain with respect to the chordal metric $χ$ on $\mathbb{C}\cup\{\infty \}$. We conclude that Mergelyan's Theorem may be extended to the case of uniform approximation with respect to $χ$ on closed Jordan domains. Similar results are obtained if we replace the one point compactification $\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ of $\mathbb{C}$ by another compactification of $\mathbb{C}$ homeomorphic to the closed unit disc.

研究の動機と目的

• 閉ジュリアン領域上で弦的距離 χ に関する一様収束の設定へ、多項式近似に関するメルゲリャンの古典的定理を拡張すること。
• 閉ジュリアン領域上での多項式の $χ$-一様極限のクラスが、無限大値を含む関数を含む一般化された円盤代数と一致するかどうかを調査すること。
• 無限大が点の円に相当する、複素平面の別のコンパクト化（単位円板に同相）を考察すること。
• この新しいコンパクト化および距離の下で、閉ジュリアン領域上での多項式の一様極限の集合を特徴付けること。
• 両方の一般化関数クラスが、それぞれの距離の下で多項式の一様極限として実際に得られることを確立すること。

提案手法

• 一般のジュリアン領域 Ω から単位円板 D への問題を、正則写像 φ: D → Ω を用いて移行するために、リーマン写像定理を用いる。
• 一般化されたクラス $χ$-A(Ω) を、$χ$-A(Ω) → ℂ ∪ {∞} で定義され、$χ$-A(Ω) 上連続で、Ω 内で正則であり、境界で ℂ ∪ {∞} の径方向極限を持つ関数の集合として定義する。
• 既知の結果を適用し、$χ$-A(D) が $χ$-A(D) 上での多項式の一様 $χ$-極限の集合に等しいこと（複素平面に拡張された距離 χ を用いて）を示す。
• 三角不等式と距離比較（χ(a,b) ≤ |a−b|）を用いて、Ω 上での $χ$-収束を D 上の一様収束に、再び多項式近似に結びつける。
• 写像 z ↦ z/(1+|z|) を用いて、複素平面の別のコンパクト化を導入し、$ℂ ∪ {∞·e^{iθ}}$ 上に距離 d を誘導する。
• クラス $χ$-A(Ω) を、$χ$-A(Ω) 上連続で、Ω 内で正則であり、g(z) = ∞·e^{iθ(z)} と表される無限大型関数として定義する。ここで θ は $χ$-A(Ω) 上連続で、Ω 内で調和的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉ジュリアン領域上で弦的距離 χ に関する一様近似へ、メルゲリャンの定理を拡張できるか？
• RQ2 閉ジュリアン領域 Ω 上での多項式の $χ$-一様極限のクラスが、一般化された円盤代数 $χ$-A(Ω) と一致するか？
• RQ3 無限大が点の円に置き換えられる複素平面の別のコンパクト化の下で、Ω 上での多項式の一様極限の集合の構造はいかなるものか？
• RQ4 無限大の偏角（θ(z)）の調和的境界挙動が、拡張された関数クラスにおける近似性質にどのように影響するか？
• RQ5 調和的無限大型境界値を持つ関数のクラスは、距離 d の下で多項式の一様極限の集合と等しいか？

主な発見

• 関数のクラス $χ$-A(Ω) は、$χ$-A(Ω) 上連続で、Ω 内で正則であり、境界値が ℂ ∪ {∞} に属する関数の集合と、$χ$-A(Ω) 上での多項式の $χ$-一様極限の集合と一致する。
• 任意の関数 g ∈ $χ$-A(Ω) に対して、多項式の列 Q_n が存在し、n → ∞ のとき sup_{z∈$χ$-A(Ω)} χ(Q_n(z), g(z)) → 0 となる。
• 証明は、リーマン写像を用いて問題を単位円板に移行し、既知の $χ$-近似性質を $χ$-A(D) の多項式に適用することに依存する。
• 別のコンパクト化により誘導される距離 d の下で、クラス $χ$-A(Ω) は、$χ$-A(Ω) 上での多項式の $χ$-一様極限として再び特徴付けられる。
• 一般化された関数クラス $χ$-A(Ω) 内の無限大型関数は、g(z) = ∞·e^{iθ(z)} の形で表され、θ は $χ$-A(Ω) 上連続で、Ω 内で調和的である。
• この結果により、球面的およびコンパクト化された複素近似の文脈において、メルゲリャンの定理の直接的な類似が確立され、古典的な多項式近似が無限大境界値を持つ関数へ拡張された。