[論文レビュー] A remark on Zoloterav's theorem

Hao Pan|ArXiv.org|Jan 2, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、モジュロ乗算と剰余調整によって定義される特定の置換 γₐ,ₙ の符号を決定することにより、Zolotarevの定理の改良を確立する。γₐ,ₙ は集合 {1, ..., (n−1)/2} 上の置換であり、符号は n ≡ 1 (mod 4) のとき Jacobi記号 (a/n) に等しく、n ≡ 3 (mod 4) のときは 1 に等しい。これは床関数と分数部分の性質を用いて、逆転数を 2 を法として計算することで証明される。

ABSTRACT

Let n>=3 be an odd integer. For any integer a prime to n, define the permutation gamma_{a,n} of {1,...,(n-1)/2} by gamma_{a,n}(x)=n-\dec{ax}_n if {ax}_n>=(n+1)/2, and {ax}_n if {ax}_n<=(n-1)/2, where {x}_n denotes the least nonnegative residue of x modulo n. In this note, we show that the sign of gamma_{a,n} coincides with the Jacobi symbol (a/n) if n=1 mod 4, and 1 if n=3 mod 4.

研究の動機と目的

• モジュロ乗算と剰余調整によって定義される集合 {1, ..., (n−1)/2} 上の特定の置換 γₐ,ₙ の符号を決定すること。
• 奇数の整数 n ≥ 3 に対して、n を 4 で割った余りに応じて、γₐ,ₙ の符号を特徴づけることにより、Zolotarevの定理を改良すること。
• γₐ,ₙ の符号とJacobi記号 (a/n) の間の関係を確立し、合成法におけるGaussの補題を一般化すること。
• 床関数と分数部分関数を用いて、γₐ,ₙ の逆転数 I(a,n) を 2 を法として計算すること。
• γₐ,ₙ の符号が、n ≡ 1 (mod 4) のとき Jacobi記号と整合的である実偶Dirichlet指標（mod n）であることを証明すること。

提案手法

• γₐ,ₙ を集合 {1, ..., (n−1)/2} 上の置換として定義し、x が {ax}ₙ ≥ (n+1)/2 を満たすとき n − {ax}ₙ に写像し、それ以外の場合は {ax}ₙ に写像する。
• 逆転数 I(a,n) を床関数と分数部分を用いて表現する：I(a,n) ≡ ∑ₖ₌₁^{(n−1)/2} ⌊ak/n⌋ + ⌊2ak/n⌋ − ⌊ak/n⌋ mod 2。
• 逆転構造を分析するために、恒等式 ⌊ak/n⌋ − ⌊al/n⌋ − ⌊a(k−l)/n⌋ = 1（{ak}ₙ < {al}ₙ のとき）、0（それ以外のとき）を用いる。
• 逆転数の分解のために、恒等式 ⌊a(k+l)/n⌋ − ⌊ak/n⌋ − ⌊al/n⌋ = 1（{ak}ₙ + {al}ₙ > n のとき）、0（それ以外のとき）を適用する。
• 既知の恒等式 ∑ ⌊2ak/n⌋ と ∑ ⌊ak/n⌋ を用いて逆転数を 2 を法として簡略化し、(n²−1)/8 mod 2 を用いて簡約する。
• (-1)^{(n²−1)/8} = (2/n) であることに着目し、n ≡ 3 (mod 4) の場合の符号を解明することで、sign(γₐ,ₙ) = 1 を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュロ乗算と剰余調整によって定義される {1, ..., (n−1)/2} 上の置換 γₐ,ₙ の符号は何か？
• RQ2 n ≡ 1 (mod 4) のとき、γₐ,ₙ の符号はJacobi記号 (a/n) とどのように関係するか？
• RQ3 なぜ n ≡ 3 (mod 4) のとき、γₐ,ₙ の符号は a にかかわらず常に 1 になるのか？
• RQ4 γₐ,ₙ の逆転数は、床関数と分数部分関数を用いて 2 を法として計算可能か？
• RQ5 γₐ,ₙ の符号は実偶Dirichlet指標（mod n）をなすか？また、Zolotarevの定理とはどのように関係するか？

主な発見

• n ≡ 1 (mod 4) のとき、置換 γₐ,ₙ の符号はJacobi記号 (a/n) に等しい。
• n ≡ 3 (mod 4) のとき、任意の n と互いに素な a に対して、γₐ,ₙ の符号は恒等的に 1 に等しい。
• γₐ,ₙ の逆転数 I(a,n) は、I(a,n) ≡ ∑ₖ₌₁^{(n−1)/2} ⌊ak/n⌋ + ⌊2ak/n⌋ + (a−1)(n²−1)/8 mod 2 を満たす。
• この結果は、ak/n と 2ak/n の分数部分の床関数に関する恒等式を用いて導出される。
• 証明は、モジュロ算術の恒等式と特に (2/n) = (−1)^{(n²−1)/8} というJacobi記号の性質に依存している。
• γₐ,ₙ の符号は、実偶Dirichlet指標（mod n）として一貫しており、合成法におけるZolotarevの定理と整合的である。