[論文レビュー] A Residual Based A Posteriori Error Estimators for AFC Schemes for Convection-Diffusion Equations

Abhinav Jha|arXiv (Cornell University)|May 6, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 37被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、対流拡散方程式における代数的フラックス補正（AFC）スキームのエネルギーノルムに対する、残留に基づく後験的誤差推定器を提案する。一般のリミッタに対してグローバルな上界を確立し、AFC-energyおよびAFC-SUPG-energyの2つの戦略を比較することで、非ロバストな効果性指数にもかかわらず、前者がより優れた適応的グリッド・アンメッシュを可能にすることを示している。一方、後者は効果性インデックスを改善するが、層の分解能は劣る。

ABSTRACT

In this work, we propose a residual-based a posteriori error estimator for algebraic flux-corrected (AFC) schemes for stationary convection-diffusion equations. A global upper bound is derived for the error in the energy norm for a general choice of the limiter, which defines the nonlinear stabilization term. In the diffusion-dominated regime, the estimator has the same convergence properties as the true error. A second approach is discussed, where the upper bound is derived in a posteriori way using the Streamline Upwind Petrov Galerkin (SUPG) estimator proposed in \cite{JN13}. Numerical examples study the effectivity index and the adaptive grid refinement for two limiters in two dimensions.

研究の動機と目的

• AFCスキームのエネルギーノルムに対する信頼性の高い後験的誤差推定器の開発。
• 異なる拡散状態における推定器の収束性およびロバスト性の分析。
• 上界を導出するための2つの戦略—AFC-energyおよびAFC-SUPG-energy—の比較。
• KuzminおよびBJKの2つのリミッタを用いた、適応的メッシュ・アンメッシュを用いた推定器の性能評価。
• リミッタの選択およびグリッド・アンメッシュが誤差収束性および層の分解能に与える影響の調査。

提案手法

• 一般のAFCスキームに対して、残留に基づくアプローチを用いてエネルギーノルム誤差のグローバル上界を導出する。
• JN13のSUPGに基づく誤差推定器を用いて、後験的上界を導出する第二の戦略を導入する。
• 分片線形有限要素法を用い、誤差推定に適した具体的な定数を伴うトレース不等式を分析する。
• 適合型アンメッシュおよびレッドグリーンアンメッシュ戦略を用いた適応的メッシュ・アンメッシュを適用する。
• 2次元における数値シミュレーションを用いて、異なるリミッタおよび拡散パラメータ下でのAFC-energyおよびAFC-SUPG-energy推定器を比較する。
• 効果性インデックスおよびスメアイント測度を用いた層厚さの分解能を評価し、推定器の品質を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 提案された残留に基づく誤差推定器は、対流拡散状態が変化する中で、どの程度の効果性インデックスを示すか？
• RQ2 リミッタの選択（Kuzmin対BJK）は、AFCスキームの収束性およびアンメッシュ行動に顕著な影響を及ぼすか？
• RQ3 AFC-energyおよびAFC-SUPG-energy戦略は、内部層および境界層の解像度においてどのように比較されるか？
• RQ4 レッドグリーンアンメッシュを用いた適応的メッシュ・アンメッシュは、Kuzminリミッタにおける収束次数にどのような影響を及ぼすか？
• RQ5 問題が局所的に拡散支配的になると、推定器はグリッド・アンメッシュを信頼的に誘導できるか？

主な発見

• AFC-energy推定器は拡散支配的領域では真の誤差と同一の収束特性を示すが、特に強い対流支配的状況ではεに対する効果性インデックスがロバストでない。
• AFC-SUPG-energy推定器はAFC-energy推定器よりも優れた効果性インデックスを示すが、主にηSUPG項の支配的寄与によるものである。
• リミッタの選択はAFC-SUPG-energy戦略に対してほとんど影響を及ぼさない。これはηSUPGが誤差推定器を支配するためである。
• Kuzminリミッタに適合型クロージャおよびレッドグリーンアンメッシュを適用した場合、問題が局所的に拡散支配的になると収束次数が低下する。
• KuzminリミッタではAFC寄与項ηdhが誤差推定器を支配するが、BJKリミッタでは対流支配的状況でのみηdhが支配的であり、層が解像されるとその寄与が減少する。
• 特に複数の層、弱い放物型層を含む解像度において、AFC-energy手法がAFC-SUPG-energy手法を上回る性能を示す。